Il giorno giovedě 12 giugno 2014 13:17:43 UTC+2, Giorgio Bibbiani ha scritto:
...
> e il terzo *sarebbe* l'energia
> cinetica dell'acqua uscita dal primo serbatoio fino al tempo t se
> questa avesse avuto costantemente velocita' v, il che non e' possibile
> visto che v e' funzione del tempo...
>
Ecco!
Ti ringrazio perche' non riuscivo ad individuare l'errore.
Rifatto i conti e mi torna il risultato che avevi scritto.
L'energia cinetica dell'acqua uscita dal tubo per una variazione dh dell'altezza vale:
-˝ rho*A*dh*v^2.
Integrando tra H e h e usando v^2 = (dh/dt)^2/k^2, l'energia cinetica di tutta l'acqua uscita dal tubo tra l'altezza iniziale e quella generica h:
-˝ rho*(A/k^2)*Int[H;h] (dh/dt)^2*dh = -˝ rho*(A/k^2)*Int[0;t] (dh/dt)^3*dt.
Allora dalla conservazione dell'energia risulta:
0 = 2g*A*(h^2-H*h) - (A/k^2)Int[0;t] (dh/dt)^3*dt
Riarrangio, derivo rispetto a t e semplifico:
2g*k^2(2h-H) = (dh/dt)^2
Int[H;H/2]dh/sqrt(2h-H) = -k*sqrt(2g)*Deltat
--> Deltat = (1/k)sqrt(H/2g).
Solo adesso si puo' valutare la validita' dell'ipotesi di poter trascurare l'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi rispetto a quella uscita dal tubo:
L'energia cinetica dell'acqua nei serbatoi, ponendo L = 0, vale:
˝ rho*A*h*(dh/dt)^2 + ˝ rho*A*(H-h)*(dh/dt)^2 = ˝ rho*A*H*(dh/dt)^2.
Il suo valore massimo, che si ha all'istante iniziale e':
˝ rho*A*2g*K^2*H^2 = rho*A*g*k^2*H^2.
L'energia cinetica di tutta l'acqua uscita dal primo serbatoio vale:
1/4 rho*A*g*H^2
Il rapporto tra la prima e la seconda vale:
4k^2
che e' trascurabile prendendo k sufficientemente piccolo.
Ciao.
N.B. Problema carino, molto istruttivo ed impegnativo nonostante le apparenze.
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cometa_luminosa
Received on Sun Jun 15 2014 - 15:10:59 CEST