Il 02 Nov 2009, 21:05, cometa_luminosa <alberto.rasa_at_virgilio.it> ha
scritto:
> Innanzitutto, se alfa e' l'accelerazione nel riferimento in moto,
> direi che e' questa che posso supporre costante; allora
> l'accelerazione a nel riferimento fisso mi viene:
>
> a = alfa*(1 - Beta^2)^(3/2)
>
> (per non appesantire il discorso, ti scrivero' nel prossimo post i
> calcoli che ho fatto, se questo risultato e' errato)
� corretto.
> il che mi sembrerebbe ragionevole, perche' --> 0 per Beta --> 1.
>
> Ma sostituendola nella formula che avevo trovato:
>
> X_B'' - X_A'' = -L*(a^2/c^2)/(1-Beta^2)^(3/2)
questa formula � stata derivata nel presupposto che beta'' = 0 il che
per� � vero solo se � vera la formula v = at, mentre nel caso
relativistico quello che � costante nel tempo � alfa cio�
l'accelerazione percepita tempo per tempo dai riferimenti inerziali
che si muovono con la stessa velocit� del punto A, dv/dt invece varia
nel tempo. La legge di variazione della velocit� nel riferimento fisso
la ottieni, per esempio, dall'equazione differenziale:
d beta / dt = alfa (1-beta^2)^(3/2) che � a variabili separabili e
trovi: v_A(t) = alfa t / sqrt(1+(alfa t/c)^2). Integrando ancora
ottieni l'equazione del moto del punto A che risulta:
(c^2/alfa) sqrt(1+(alfa t/c)^2)
dove al tempo t = 0 risulta x_A(0) = c^2/alfa questo equivale a
fissare arbitrariamente una costante di integrazione ovvero l'origine
degli assi in un punto preciso, ma dal momento che � comodo e che
l'origine degli assi � convenzionale questa scelta non comporta
problemi.
Per calcolare l'equazione del moto del punto B devi tenere presente
che nel riferimento istantaneo di quiete del punto A il punto B deve
trovarsi a distanza L. E nel riferimento fisso questo significa che
nel tempo:
t + L beta gamma
il punto B si trover� in:
x_A(t) + L gamma.
Sostituendo l'espressione per v_A(t) risulta quindi che al tempo:
t' =(1+alfa L/c^2)t *
il punto B si trova in:
x_B(t') = (c^2/alfa + L) sqrt(1+(alfa t/c)^2)
A questo punto per ottenere l'equazione del moto del punto B potremmo
esprimere t in funzione di t' e sostituire nell'ultima equazione
ottenuta, ma c'� un modo pi� istruttivo per ritrovare x_B(t')
osservare che * si riscrive:
ct' = (c^2/alfa + L) (alfa t/c)
da confrontare con:
x_B(t') = (c^2/alfa + L) sqrt(1+(alfa t/c)^2)
di conseguenza:
(ct')^2 - (x_B(t'))^2 = -(c^2/alfa + L)^2 = -(x_A(0) + L)^2 = -(x_B(0))
^2
quindi il punto B ha equazione del moto:
x_B(t) = x_B(0) sqrt( 1 + (c t/x_B(0))^2 )
per confronto con l'equazione del moto del punto A:
x_A(t) = c^2/alfa sqrt(1+(alfa t/c)^2) = x_A(0) sqrt(1+ (ct/x_A(0))
^2)
risulta che l'accelerazione avvertita nel riferimento dell'astronave
dal punto B, costante nel tempo, �:
alfa(B) = c^2/x_B(0).
che � meno dell'accelerazione del punto A se x_B > x_A e di pi� in
caso contrario: cio� l'accelerazione avvertita nella prua � meno
dell'accelerazione avvertita nella poppa. Tanto al tempo iniziale,
quanto ai tempi successivi. Questo ad ogni modo � vero sull'astronave,
perch� nel riferimento fisso la situazione appare un poco differente:
a(t) = (c^2/[x(0)sqrt(1+(ct/x(0))^2)^3]
che per grandi valori di t si approssima a:
a(t) = x0^2/(ct^3)
cio� l'accelerazione apparente nel riferimento fisso tende a zero
(come � giusto dato che c'� un limite di velocit�) ma tende a zero pi�
velocemente per i punti in poppa che per i punti a prua. Questo
comunque non � contraddittorio con quanto viene osservato a bordo, per
via della relativit� della nozione di simultaneit�, n� con quanto
viene osservato ai tempi iniziali, dal momento che � una condizione
asintotica che viene raggiunta con continuit�.
> (a proposito, avevo dimenticato il fattore 1/c^2), risulterebbe:
>
> X_B'' - X_A'' = -L*alfa^2*[(1-Beta^2)^3]/c^2)/(1-Beta^2)^(3/2) >
> = -L*(alfa^2/c^2)*[(1-Beta^2)^(3/2)]
>
> Che non mi torna lo stesso in quanto non mi sembra possibile,
> stavolta, che il risultato possa dipendere da Beta; avrei detto che
> possa dipendere soltanto da L e da alfa.
> Ciao.
>
Received on Tue Nov 03 2009 - 23:01:37 CET