derivazione di misure

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: Sat, 26 Sep 2009 05:47:01 -0700 (PDT)

Ciao a tutti, mi trovo con il seguente problema. Sotto posto la
versione matematica, ma in realt� nasce quando uno cerca di dimostrare
davvero il teorema di Ehrenfest in fisica usando operatori non
limitati, lavorando con le misure di Borel associate alle misure a
valori di proiezione che si ottengono fissando un vettore. Esiste
un'altra via ma mi sembra ancora pi� impraticabile...

Ho una misura positiva finita (anzi di probabilit�) sull'algebra di
Borel di R che dipende da un parametro t in (-epsilon,epsilon)
mu_t : B(R) -> [0,1]
dove B(R) sono i boreliani su R.
Dunque in realt� abbiamo una classe di misure suddette, parametrizzate
in t.
Sappiamo anche che, per ogni boreliano A, la funzione

t |-> mu_t(A)

� derivabile in t=0 (in realt� ovunque sul suo dominio in t) e la
derivata individua una misura complessa
nu : B(R) -> C.
Sappiamo anche che la funzione x -> x � L^2 rispetto a tutte le misure
coinvolte
(e quindi anche L^1 visto che le misure sono finite [quelle complesse
lo sono per definizione]).
La mia domanda � la seguente. Sotto quali eventuali altre ipotesi
posso dire che

d/dt|_{t=0} int_R x dmu_t(x) = int_R x dnu(x) ?


Come vedete si tratta di passare la derivata sotto il segno di
integrale, ma per derivare la misura, non la funzione integranda.
Ho provato a cercare in rete teoremi che permettono di derivare misure
sotto il segno di integrale ma non ho trovato niente. Ma � impossibile
che nessuno ci abbia mai lavorato. Purtroppo sono a casa e non posso
andare in biblioteca del mio dipartimento.


Ciao, Valter
Received on Sat Sep 26 2009 - 14:47:01 CEST