aieiebrazo2009 ha scritto:
> Supponiamo di sparare un proiettile verticalmente nel vuoto, esso
> raggiunger� una certa altezza h. Supponiamo poi che l'ambiente si
> riempia di un mezzo che opponga al moto una forza d'attrito
> direttamente proporzionale alla velocit� e di ripetere l'esperimento
> con l'intenzione di raggiungere la medesima altezza h. E' chiaro che
> dovr� sparare il proiettile a una velocit� maggiore di prima, e che mi
> ricadr� addosso a una velocit� minore. Non mi � per� per niente chiaro
> se il proiettile ci metter� di pi� o di meno a raggiungere l'altezza h
> (da un lato c'� la velocit� iniziale maggiore, dall'altro c'�
> l'attrito...). Ci devo arrivare coi conti o si pu� arrivare alla
> risposta anche con un arguto ragionamento alla Salviati? Grazie a chi
> vorr� rispondere.
Obiezione marginale: la forza d'attrito non sara' prop. alla velocita',
a meno che questa non sia bassissima.
Ma possiamo limitarci a supporre che una resistenza del mezzo esista,
e cresca con la velocita'.
Credo che effettivamente si possa rispondere senza calcoli, per via
grafica, Il problema e' che non posso fare la figura, la posso solo
descrivere...
Conviene ragionare in un diagramma tempo-velocita'.
Se non ci fosse la res. dell'aria, il grafico partirebe da un calore
positivo di v, scenderebbe linearmente fino a v=0 (fine della fase di
salita) e proseguirebbe sempre rettilineo con velocita' negativa.
Lo spazio percorso e' dato dall'area sotto il grafico: il proiettile
ricade a terra quando lo spazio (l'area) e' zero.
Come vedi dal grafico, hai due triangoli, e l'area totale sara' nulla
quando i due triangoli sono uguali, quindi con basi uguali: cio'
dimostra che il temo di discesa e' uguale a quello di salita.
Fin qui e' banale, ma serviva per preparare il terreno,
Come si modifica il grafico quando c'e' l'aria?
Non sara' piu' rettilineo, ma curvo. La pendenza (accelerazione)
durante la salita sara' maggiore (in modulo) quando la velocita'
e' piu' grande, perche' la res. dell'aria si somma alla gravita'.
Quindi il grafico e' concavo verso l'alto.
Invece nella discesa avviene l'opposto: la pendenza decresce con la
velocita', perche' la res. dell'aria si sottrae alla gravita'. Di
conseguenza il grafico e' ancora concavo verso l'alto.
Naturalmente il grafico e' continuo, nel senso che v(t) e' continua
con tutte le derivate, ma questo e' secondario. Cio' che conta e' che
se prendi due istanti, uno prima e uno dopo dell'istante di massima
quota, la velocita' (ordinata) nella salita e' sempre maggiore in
modulo che durante la discesa.
Percio' se prendi due intervalli uno prima e uno dopo l'istante di
massima quota, ugualmente estesi e contigui, l'area in salita sara'
sicuramente maggiore di quella in discesa.
Ne segue che per avere aree uguali occorre che l'intervallo di salita
sia minore.
Conclusione: il tempo di salita e' minore.
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Elio Fabri
Received on Thu Aug 13 2009 - 20:53:55 CEST