Il 10 Giu 2009, 22:53, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
> Teti_s wrote:
> > Il 06 Giu 2009, 08:28, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
> ...
> >> Attenzione: non tutte le costanti del moto. In particolare l' energia
> >> del tuo sistema sara' conservata solo all' ordine dt^2. Vedi dopo.
> >
> > Certo, grazie per avermelo ricordato, mi aspetto per� che siccome il
volume
> > di fase � rigorosamente conservato, ed esiste una relazione fra
l'energia ed
> > il volume di fase racchiuso mi aspetto che eventuali violazioni si
medino a
> > zero su moti periodici o quasi periodici,
>
> Mediare a zero non implica che siano sempre nulle.
No di certo, ma � importante che orbite periodiche, e multiperiodiche siano
applicate in orbite periodiche e multiperiodiche.
E per sistemi completamente integrabili questo � garantito, o quasi, dalla
pura e semplice natura simplettica dell'integratore, dal teorema di Goldberg
e dal teorema KAM quest'ultimo in particolare garantisce anche la
conservazione di alcune strutture non integrabili. Riepilogando: il teorema
di Goldberg � stato introdotto originariamente in fisica teorica nel
contesto della teoria formale dello scattering come uno dei primi strumenti
non perturbativi, molto semplicemente dice fino a che punto sono validi gli
sviluppi perturbativi come quelli che compaiono nello sviluppo di Trotter
dell'operatore di Liouville.
>
> > altrimenti il successo pratico di
> > questi algoritmi nel generare le orbite regolarissime che osservo,
> > nonostante gli errori di approssimazione di tutti i processori sarebbero
> > inspiegabili.
>
> Non sono inspiegabili ma discendono dal fatto che, per ogni delta t, gli
> integratori simplettici integrano *esattamente* le equazioni del moto
> per una diversa hamiltoniana (ghost) che differisce da quella originale
> per termini O(dt^2).
Vediamo di dettagliare quello che ho detto prima e se ho capito quello che
hai scritto qui.
Il teorema di Goldberg in particolare permette di scrivere esplicitamente la
serie di Log( e^(it L_p/2) e^(it Lq) e^(it Lp)) nel caso del Velocity
Verlet. Questa serie ha un raggio di convergenza in t che � stimato dallo
stesso teorema di Goldberg. In particolare, nel caso dell'oscillatore
armonico, in unit� per cui H = p^2 + q^2 per t fra zero ed 1:
e^(it/2 p Dq) e^(it q Dp) e^(it/2 p Dq) = e^(t f(t) (H + t/2 [Dq,Dp]))
con f(t) = atan(t/2 sqrt(1-(t/2)^2)) / (t/2 sqrt(1-(t/2)^2)) qui Dp e Dq
sono matrici che corrispondono all'incremento di traslazione spaziale e di
traslazione nello spazio degli impulsi, per il caso dell'oscillatore
armonico sono nil-potenti. Per l'oscillatore armonico siamo fortunati e
basta considerare il commutatore [Dq,Dp], grazie al fatto che Dq^2 = Dp^2 =
0 e che [Dq,[Dq,Dp]] = 2Dq, [Dp,[Dp,Dq]] = 2Dp. L'hamiltoniana:
H + t/2 [Dq,Dp] prende in questo caso il nome di ombra.
Il teorema di Goldberg tuttavia e' lo strumento di partenza da cui
scaturiscono le estensioni analitiche degli operatori di scattering che si
possono ottenere anche quando la serie di Goldberg non converge, ma �
tuttavia garantito il carattere asintotico delle serie. Questo � molto
importante in teoria dello scattering perch� l'interpretazione
probabilistica della meccanica quantistica permette di superare i problemi
tipici delle approssimazioni numeriche. In particolare se t va oltre il
raggio di convergenza della serie per qualche valore delle coordinate azione
angolo classicamente succede che orbite stabili appaiono instabili, ma il
carattere stabile pu� essere ritrovato, per via teorica quando non sia noto
a priori, con medie integrali. Anche nel caso classico sussiste una
situazione del genere che conduce alla nozione di hamiltoniana fantasma.
Lasciando un momento da parte questi sviluppi, che riguardano la somma di
serie asintotiche ed i teoremi di Watson, rimaniamo nel caso classico. Il
teorema di Goldberg ha una parte formale in cui si procede come in funzione
di t a costruire la serie del logaritmo senza preoccuparsi della
convergenza. In questo caso quello che si trova nella generalit� dei casi �
che l'algoritmo di Verlet da luogo ad una serie logarimica che pu� essere
scritta esplicitamente. Nel caso delle forze newtoniane i potenziali danno
luogo a parentesi di Poisson pi� strutturate che coinvolgono gli invarianti
di Lagrange ovvero i momenti di inerzia del sistema. In generale la
convergenza non � garantita a tutti gli ordini. Facciamo finta, per un
momento che questa serie formale converga.
Inoltre si trova anche che l' hamiltoniana
> originale e l' hamltoniana ghost condividano parte delle simmetrie.
> Quindi alcune costanti del moto (p.es. momento e mom. q. di moto) sono
> preservate esattamente anche nell' integrazione dell' hamiltoniana
> ghost, comportando una conservazione di quelle costanti del moto a
> precisione macchina. Tutto cio' vincola fortemente cosa il sistema
> "perturbato" corrispondente all' integrazione numerica puo' fare.
A questo punto se la serie di Goldberg converge possiamo dire che la nuova
hamiltoniana, l'hamiltoniana ombra � un perturbazione di primo ordine nel
parametro di incremento temporale della hamiltoniana esatta. Il teorema
K.A.M. fornisce criteri di stabilit� per le orbite periodiche e quasi
periodiche del sistema originario, all'essenza quello che conta � l'effetto
della discretizzazione sui coefficienti di Lyapunov infinitesimi, se il
parametro di incremento dt non � tal che nel tempo dt la struttura del
landscape sia completamente cambiata allora le strutture stabili hanno
qualche probabilit� di rimanere stabili per un certo tempo e quelle
instabili di rimanere instabili e con lo stesso grado di instabilit�. Il
teorema K.A.M. quantifica, in linea di principio, queste probabilit�. Nel
caso degli integrali esatti del sistema questi saranno sostituiti da
integrali ghost se la serie di Goldberg � a convergenza. Per gli integrali
approssimati quello che pu� succedere � che durante l'evoluzione temporale
uno di questi integrali d'azione raggiuna un valore per il quale
l'incremento angolare corrispondente al passo di integrazione non garantisce
pi� la convergenza della serie di Goldberg per quel settore di Hamiltoniana.
Direi che nei sistemi caotici quest'ultima situazione si verifica sempre per
qualche sistema di condizioni iniziali, quindi nel caso di sistemi caotici
siamo costretti a lavorare con serie di Goldberg non convergenti, ovvero con
hamiltoniane ghost. Lo stesso Arnold ammette questo problema infatti dice
che nella generalit� dei casi lo sviluppo perturbativo d� luogo a strutture
non analitiche e supera la difficolt� introducendo un metodo di
approssimazione non perturbativo � la Watson basato sull'algoritmo di
Newton.
Da un punto di vista pratico anche se non esiste una hamiltoniana ombra �
tuttavia pensabile considerare il sistema come un sistema perturbato
dipendente dal tempo. La teoria pi� adatta da prendere in considerazione �
un mattoncino della teoria K.A.M. che � stata sviluppata da Krylov sulla
stabilit� delle perturbazioni dipendenti dal tempo e che � uno sviluppo di
un metodo che data a Newton ed al suo tentativo di spiegare i moti lunari.
Questa teoria � accennata per esempio sul libro di metodi di Bernardini ed i
libri di Arnold ne parlano nei capitoli relativi alle risonanze
parametriche. Di fatto anche se la teoria K.A.M. si limita al caso di
perturbazioni statiche mutua molti strumenti dal capitolo delle
perturbazioni dipendenti dal tempo, perch� nel caso statico l'esistenza di
variet� conservate dipende dalla criticit� delle interazioni, indotte dalla
perturbazione, fra moti quasi periodici relativi a variabili d'azione
differenti dell'hamiltoniana originale.
Guardando le cose dal punto di vista della teoria di Krylov quello che si
scopre � che se un sistema � instabile una perturbazione simplettica non lo
stabilizza ma nella gran parte dei casi riproduce l'instabilit� del sistema
originale.
> >> Prima di trarre qualsiasi conclusione, sarebe da tener sotto controllo
> >> quanto bene si conserva l' energi aocl tuo time step. Le veriazioni di
> >> velocita' in un' orbita planetaria non quasi circolere sono
> >> sufficienti a rendere la conservazione dell' energi abbastanza
> >> scadente.
> >
> > In effetti mi sono accorto di questo: orbite con eccentricit� sostenuta
> > deragliano molto prima dal regime teorico dovuto alla simmetria di
quanto
> > non facciano orbite circolari o con eccentricit� pi� bassa ma avevo
pensato
> > che il problema fosse da imputare al valore medio dei coefficienti di
> > Lyapunov cio� ad una instabilit� dinamica genuinamente pi� significativa
per
> > quel tipo di orbite. D'altra parte so bene che possono esserci effetti
di
> > caos spurio indotti dalla discretizzazione.
>
> Direi che le due cose concorrono a dare il comportamento osservato. Ma,
> per quanto detto sopra, occorre prima garantirsi un dt
> sufficientemente piccolo da tener sotto conrollo l' energia.
Intuitivamente tenderei a pensare che l'energia � decentemente conservata
fin tanto che la distanza fra due pianeti non diventa talmente piccola che
nel tempo dt sarebbe possibile completare un'orbita. Comunque � il caso di
mettere un controllo esplicito sull'energia.
> ... (a proposito voi che riferimenti teorici usate per spiegare gli
> > integratori simplettici?).
>
> Attualmente il metodo piu' diffuso per derivare e studiare integratori
> simplettici e' quello di partire dall' operatore di evoluzione
> temporale (introducendo il Liouvilliano com generatore) e procedendo ad
> approssimare questo.
Come ho scritto prima, all'incirca.
> Giorgio
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Sun Jun 14 2009 - 17:50:05 CEST