Re: equazione di navier stokes

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Fri, 24 Apr 2009 21:49:10 +0200

tonio ha scritto:
> ciao a tutti, c'� un modo molto semplice per spiegarmi come mai
> nell'equazione di navier-stokes nella parte che riguarda le forza
> viscosa viene posta la derivata seconda della velocit�? Io non sono un
> fisico e nemmeno un matematico molto esperto, mi sfugge totalmente
> questo fatto.
Ci provo.
Per cominciare, mettiamoci in un caso quanto piu' semplice possibile:
supponiamo che la velocita' nel fluido sia diretta lungo x, e che
varii solo lungo y.
Consideriamo ora uno strato di fluido compreso tra i due piani y=y1 e
y=y2 (y1<y2), ed esaminiamo le forze cui questo strato e' soggetto dal
resto del fluido.

La forza che il fluido sottostante esercita in y=y1 e' diretta lungo x
e dipende dalla derivata della velocita' rispoetto a y: questa e' la
caratteristica della resistenza viscosa.
Saprai che quantitativamente la forza per unita' di superficie vale

F1 = -eta*(_at_v/_at_y)

dove eta e' la viscosita' e la derivata va calcolata per y=y1.. Il
segno meno rende conto del fatto che che v cresce con y, il fluido
sottostante tende a frenare quello dello strato.

Passiamo a y=y2: stesso discorso, salvo che ora il verso della forza
e' opposto:

F2 = eta*_at_v/_at_y

ma con la derivata calcolata in y=y2.

La risultate delle due forze e'

F1+F2 = eta*[(_at_v/_at_y)_2 - (@v/_at_y))1]

che puoi approssimare con

eta * (y2-y1) * (_at_^2v/_at_y^2).

Questa era la forza sull'unita' di superficie: ora scrivi F = ma,
tenendo conto che la massa interessata e' rho*(y2-y1) e ottieni

accel. = (eta/rho) * (_at_^2v/_at_y^2)

che e' proprio l'eq. di Navier-Stokes per il nostro esempio
particolare.
      

-- 
Elio Fabri
Received on Fri Apr 24 2009 - 21:49:10 CEST

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