Il 22 Feb 2009, 20:50, "te..."_at_libero.it (Teti_s) ha scritto:
> che mi conferma nell'idea che derivare in ambito classico il termine di
> contatto di Fermi richiede argomenti piuttosto sofisticati di teoria delle
> distribuzioni, la trattazione migliore che ho trovato, che per� non �
> comunque soddisfacente per il mio scarso intelletto � quella di Messiah
che
> procede in questo modo:
>
> -m grad^2 (1/R) + m.grad(grad(1/r))
>
> viene separato in due parti:
>
> -2/3 m grad^2 (1/R) + [ m.grad(grad(.)) - 1/3 m grad^2 ] (1/R) =
>
> il secondo termine viene trattato come un tensore sferico di ordine 2
mentre
> il primo � uno scalare di conseguenza si considera l'azione sullo spazio
> delle funzioni test e per la nota identit� : grad^2(1/r) = - 4pi delta(R)
si
> ottiene il termine di contatto di Fermi, mentre il secondo termine diventa
> (3(m.n)n- m)/R^3. Io non ancora capito come � che grad^2(1/R) una volta �
> -4pi delta(R) mentre l'altra � m/R^3, ho capito solo che dipende dallo
> sviluppo in armoniche sferiche di funzioni a supporto compatto intorno
> all'origine.
Provo a spiegarmi la cosa in questi termini: in verit� non � che il termine
grad^2(1/R) assume due espressioni differenti: vale comunque -4pi delta(R)
solo che nel secondo termine, quando sia valutato su funzioni a simmetria
sferica viene compensato dai termini nella derivata d_i d_ j se si considera
che il tensore � un tensore traceless sferico di rango due deve trasformare
come le componenti di una armonica sferica di rango 2 e quindi � ortogonale
a funzioni d'onda con simmetria sferica, d'altra parte per lo sviluppo in
armoniche sferiche di ordine pi� alto il valore in zero di delta(R) Y^l �
proprio zero: quando l = 1 per ortogonalit�, quando l = 2 perch� l'andamento
in zero viene regolarizzato dall'andamento quadratico della funzione d'onda
unita con l'andamento quadratico di d^3 r.
Ad ogni modo per dar significato a queste argomentazioni mi sembra che la
teoria delle distribuzioni classica non basti, ma occorra una precisa
prescrizione di regolarizzazione degli integrali nei pressi dello zero per
le componenti armoniche di ordine zero e di ordine uno, per esempio in
simmetria sferica, qualcosa di simile alla cosiddetta parte principale
perch� altrimenti nonostante . Mi sbaglio, qualcuno sa invece consigliarmi
una lettura differente della situazione?
Discorso analogo per il momento di dipolo elettrico: il termine delta in
quel caso si somma e si toglie per garantire di avere propriet� di
trasformazione adeguate per il secondo termine, dopo di che nell'ipotesi che
viga una propriet� di rappresentazione delle funzioni di interesse fisico in
termini di armoniche sferiche (ad esempio propriet� di finitezza
dell'energia e quindi quadrato sommabilit� dei campi ) si pu� soprassedere
dal riportare il termine deltiforme nel secondo termine. Se questo � il caso
dovrebbe essere possibile mostrare direttamente che:
Int (m.grad (grad(.)) (1/R) f ) d^3 R = Int (3(m.n)n - m)/R^3 +
(m/3)delta(R)) d^3 R.
Riepilogando: l'equazione
div (E) = d.grad[4pi delta(R)]
si risolve a partire dall'equazione:
div(E) = 4pi delta(R).
applicando d.grad alla soluzione di questa seconda equazione. Che a sua
volta � gi� -grad(1/R). Quindi:
E_dipolo(x) = - d.grad_x (grad_x(1/|x-x'|)).
per una sorgente collocata in x'. A questo punto occorre considerare la
parte singolare, procedendo in questo modo:
Int d. grad_x (grad_x(1/|x|) f(x) d^3x
a questo punto si trasferiscono gli operatori gradiente dal primo al secondo
termine, integrando per parti con la prescrizione valida per le funzioni
test, e si nota che:
1/r d^3 r = r dr d_omega
dove d_omega � il differenziale dell'angolo solido. Ed anche in questo caso
senza usare delle regolarizzazioni opportune intorno all'origine non mi
sembra di cavarne un ragno dal buco. Infatti gli integrali possono essere
comunque divergenti. Il problema � come si giustifica una regolarizzazione a
simmetria sferica nonostante la presenza di un momento di dipolo
nell'origine? Ancora, spero di sbagliarmi, qualcuno sa mostrarmi come si pu�
procedere?
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Received on Sun Feb 22 2009 - 23:39:41 CET