"Hypermars" <hypermars00_at_yahoo.com> wrote in message
news:d8f784f2-7624-4934-824e-5bee2073ab67_at_z1g2000yqn.googlegroups.com...
> On Feb 10, 7:13 pm, "Bruno Cocciaro" <b.cocci..._at_comeg.it> wrote:
>
> > Ma, in generale, un
> > integrale definito, perche' possa avere un significato fisico, non direi
> > che sia tenuto a dare lo stesso risultato per un vasto insieme di domini
> > di integrazione.
>
> A dire il vero io chiedevo il significato fisico dell'integrale in
> tutto lo spazio di B.
Allora avevo capito male il tuo passaggio nel quale mi sembrava che tu
esponessi, solo in forma diversa, quanto dicevo nel post al quale stavi
rispondendo.
Ed evidentemente mi ero anche spiegato male, perche' io proprio alla domanda
che ponevi ritengo di aver risposto.
Provo a ripetere.
Un *qualunque* integrale definito ha significato fisico *solo* se il dominio
di integrazione e' finito.
Con questo intendo che un integrale definito, quando puo' essere misurato,
viene sempre valutato su un dominio di integrazione finito.
Cioe', ponendo di valutare l'integrale su un parallelepipedo, detti a, b e c
i lati del parallelepipedo, il valore dell'integrale, oltre a dipendere da
proprieta' del sistema in esame (che immaginiamo posto all'interno del
parallelepipedo dove stiamo misurando l'integrale), in generale *dipendera'*
anche da a, b e c.
Detto V il valore dell'integrale, sara' V=f(p,a,b,c) dove con p intendo una,
o piu', parametri che descrivono proprieta' del sistema in esame.
Puo' darsi che esista lim(a->oo,b->oo,c->oo) f(p,a,b,c), cioe', dal punto di
vista fisico, puo' darsi che la misura dia approssimativamente sempre lo
stesso valore quando il parallelepipedo diventa "grande". In questo caso,
detto Vlim il valore della misura che si ottiene integrando su
parallelepipedi "grandi", sara' Vlim=g(p), cioe' dal valore di Vlim possiamo
evincere informazioni sulle proprieta' p del sistema.
Puo' anche darsi che non esista lim(a->oo,b->oo,c->oo) f(p,a,b,c), ma questo
nulla toglie al significato fisico della misura che continua ad essere (come
e' anche nel caso in cui il limite esiste) la misura di un integrale
definito valutato su un *dominio finito*. Se il nostro scopo e' quello di
evincere le proprieta' del sistema (cioe' le p) dal valore dell'integrale,
queste si potranno comunque ottenere dalla V=f(p,a,b,c) la quale ci dice
che, per determinare le p, oltre a V dobbiamo anche tenere conto delle a, b
e c (parametri che certamente conosciamo perche' per valutare
sperimentalmente l'integrale dobbiamo conoscere il dominio di integrazione).
Nel caso di sfera uniformemente magnetizzata, di magnetizzazione uniforme M
e raggio R, l'integrale di Bz su un cilindro di raggio d e altezza 2h>2R
(con i centri di sfera e cilindro coincidenti e con M parallelo all'asse del
cilindro dove si integra ed entrambi paralleli all'asse z), quella che sopra
ho chiamato V=f(p,a,b,c), cioe' la dipendenza del valore dell'integrale da
M, R, d e h e' data da (in cgs):
V=(4/3)*PI*m*[3-Sqrt(1+(d/h)^2)*Sqrt(1-(d/R)^2)*(3-(d/R)^2)]/Sqrt(1+(d/h)^2)
per d<R
e
V=4*PI*m* h/Sqrt(d^2+h^2).
per d>R
dove m=(4/3)PI*R^3*M.
Cioe' la misura dara' sempre un valore e quel valore andra' sempre
confrontato con la V riportata sopra.
Questo se non ho commesso errori di calcolo, che invece pare proprio che
abbia commesso (ma quanto verrebbe a te il risultato corretto, anche
eventualmente in SI, e anche eventualmente solo per d=R?).
Naturalmente se al centro non c'e' una sfera (o se c'e' una sfera ma la
magnetizzazione non e' uniforme), cambia tutto. E la V=f(M,...,d,h)
dipendera' da come e' fatta la particella magnetizzata che sta generando il
campo (e da come e' fatta la sua magnetizzazione). E in questo caso, noti
anche d e h, io non avrei proprio la minima idea di come evincere il momento
magnetico m dal valore sperimentale V.
> Non e' mica cosi' strana come cosa, in fisica ci
> sono innumerevoli esempi di quantita' definite come \int d^3r F(r),
> dove l'integrale e' esteso a tutto lo spazio. Il dominio di
> integrazione e' un problema solo quando, come in questo caso, ci sono
> problemi di convergenza assoluta.
Spero sia chiaro ora cosa volevo dire.
Certo che ci sono innumerevoli casi di quantita' definite come \int d^3r
F(r), dove l'integrale e' esteso a tutto lo spazio, ma *sempre*, la *misura*
di \int d^3r F(r) si effettua su un dominio finito e, dato un qualsiasi \int
d^3r G(r), in generale non c'e' motivo di ritenere che il significato fisico
dell'integrale, su domini "grandi", debba essere "scritto" tutto nella G(r),
puo' essere scritto nella G(r) *e* nel dominio di integrazione (che tanto si
conosce).
Il significato fisico di un integrale non assolutamente convergente e' che
se il dominio di integrazione lo facciamo grande in un certo modo (ad
esempio d e h entrambi "grandi", ma con h>>d) allora valutiamo maggiormente
qualcosa e meno qualcos'altro (valutiamo maggiormente le linee di flusso
concordi a m e meno quelle discordi), se lo facciamo grande in un altro modo
(ad esempio d e h entrambi "grandi", ma con h<<d) valutiamo maggiormente
quello che prima valutavamo meno (valutiamo le linee di flusso concordi a m,
ma poi, essendo d>>h quelle linee le rivalutiamo di nuovo con verso opposto
ottenendo cosi' un risultato approssimativamente nullo).
> Se anche Elio, Valter, Tetis e gli altri gentili partecipanti sono
> d'accordo, posso chiudere il thread.
Ah ok, per me si puo' anche chiudere per quanto riguarda la sostanza della
questione posta.
Mi permetto di chiederti gentilmente ancora un paio di cose su questioni di
contorno che abbiamo toccato.
Una te l'ho gia' chiesta ed e' il valore esatto dell'integrale (per
controllare i miei calcoli).
L'altra e' questa:
> > Pero' l'uguaglianza direi che possa sussistere sotto certi limiti,
> > cioe', detti R e R' i raggi di sfera e cilindro magnetizzati, le
> > funzioni che si ottengono integrando i due campi fra -h e h, FSfera(r) e
> > FCilindro(r), saranno approssimativamente uguali, se h>>R~R', per valori
> > r>>R~R'. O vuoi proprio dire che FSfera(r)=FCilindro(r) sempre?
>
> Sempre, nella regione esterna r>R (dove qui r e' inteso in polari nel
> piano x,y).
Ecco, come ho gia' detto in precedenza a me una cosa del genere, se vera
esattamente, pare decisamente inaspettata. Cioe' in approssimazione di
dipolo e' ovviamente corretta, ma che i termini successivi dello sviluppo
diano tutti contributi identici per sfera e cilindro mi pare veramente
strano (pero' certo, tutto puo' essere). Per questo ti chiederei se la
affermazione che le due funzioni sono uguali la fai su base teorica o
sperimentale. Nel primo caso, dove caspita si potrebbe trovare una
dimostrazione di questa cosa che a me pare stranissima?
Grazie.
> Bye
> Hyper
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Wed Feb 11 2009 - 21:05:01 CET