Re: tensore di Riemann

From: Pangloss <marco.kpro_at_tin.it>
Date: 27 Jan 2009 15:12:42 GMT

[it.scienza.fisica 26 gen 2009] Valter Moretti ha scritto:

>> > Il tensore di Riemann trasforma multilinearmente una terna di vettori
>> > in un vettore, per cui deve avere 4 indici. Potrebbe essere pensato
>> > comunque come
>> > un funzionale multilineare a 4 entrate, contraendo quella di uscita
>> > con co-vettori...
>> > Ti quadra?
>> Mi quadra dal punto di vista matematico, ma come al solito mi appare
>> fuorviante nell'interpretazione fisica. So di esprimere un punto di vista
>> poco condiviso, ma un ng serve appunto alla discussione.
> Ciao, sono abbastanza d'accordo, infatti io non mi sognerei mai di
> definire il tensore di Riemann nel secondo modo. Il significato � dato
> nel primo modo.
> .....
> qui non sono del tutto d'accordo... I vettori, nel momento in cui hai
> una metrica li puoi indistintamente pensare come co- o contro- varianti.
> Il tensore d'inerzia entra in gioco in due modi distinti:
> (1) come trasf lineare da V a V (quindi un tensore in VxX*) che serve
> a calcolare il momentio angolare iun funzione del vettore omega
> (2) come forma quadratica da V cartesiano V in R (quindi un tensore in VxV)
> che serve a calcolare l'energia cinetica in funzione del vettore omega.
> A questo punto uno pu� sbizzarrirsi e pensare il vettore omega come vettore
> o co-vettore o vettore in un'entrata e covettore nella seconda. E in
> questo modo hai tutti i casi possibili per il tensore d'inerzia.

Hai ragione.
IMO lo stesso discorso puo' applicarsi anche al tensore di Riemann.
Provo a sviluppare ulteriormente il mio punto di vista, per sottoporlo al
tuo vaglio critico ed anche per rispondere piu' a fondo all'op.

Il tensore di Riemann nasce come applicazione che ad una terna di vettori
associa un'immagine vettoriale, dunque ha 1 indice controvariante e tre
indici covarianti.
Naturalmente e' possibile vederlo come funzionale multilineare a 4 entrate
che fornisce un valore reale riempiendo tutti i suoi slots, in particolare
contraendo l'indice controvariante con un covettore, ma come ho detto
questo punto di vista mi sembra penalizzante per l'interpretazione fisica,
che diviene tortuosa ma non per questo impossibile.

Usando una metrica (penso in particolare alla connessione affine LC) si
puo' comprendere anche quale senso fisico abbia il numero reale ottenuto
saturando l'entrata controvariante con un covettore: esso e' il risultato
ottenuto moltiplicando scalarmente il corrispondente vettore per l'immagine
vettoriale fornita dal tensore di Riemann per una data terna di vettori.

Ovviamente con questo ho appena fornito un'interpretazione fisica del
tensore di Riemann 4-covariante VxVxVxV->R, metricamente isomorfo a quello
originale (commutatore op.derivazione).

Morale: se non vogliamo uscirne con il mal di testa, e' importante usare
nelle definizioni quelle piu' direttamente suscettibili di interpretazione
fisica: sotto questo aspetto una struttura isomorfa non vale l'altra.
Mi conforterebbe sapere che sei d'accordo con me. Ciao e grazie.

-- 
     Elio Proietti
     Valgioie (TO)
        
Received on Tue Jan 27 2009 - 16:12:42 CET

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