gauloises ha scritto:
> Sono uno studente ex diplomato e volevo porvi questo mio dubbio sul
> teorema di Bernoulli per capire dove sbaglio, perché sicuramente
> trascurerò qualcosa. Immagino di avere l'acqua di un fiume che ha un
> salto di livello dal punto 1 al punto 2,
>
> -- 1 ---\
> \
> \
> \-- 2 -----
>
> Nell'ipotesi di fluido ideale, uguaglio le due energie totali in A e B,
> date ciascuna dalla somma dei 3 termini, gravitazionale, cinetico e di
> pressione. Successivamente considero le pressioni e le velocità uguali
> nei due tratti, cioè pA=pB e vA=vB, elimino i termini cinetico e di
> pressione e mi resta
>
> hA = hB
>
> che evidentemente è un assurdo perché A sta in alto e B in basso
>
> Appunto, dove sbaglio ?
Qualche volta è un vantaggio che questo NG sia lento :-)
Ho visto che avevi posto lo stesso quesito in fisf, e non ne è venuto
fuori niente.
Vediamo dove arrivo io...
Una premessa inessenziale.
Tu come tanti, inclusi molti testi, parli di "3 termini", che secondo
me è sbagliato, perché non esiste nessunissima "energia di pressione".
Ma non importa, sono solo parole. L'eq. di Bernoulli, nelle opportune
ipotesi, vale in modo indip. da coem viene interpretata a parole.
Il punto centrale è: sarà lecito usare il teorema di Bernoulli?
Tu hai parlato di fluido ideale, ossia (credo) incomprimibile e non
viscoso) e in quest'ipotesi il teorema vale.
Ma visto che si arriva a un palese assurdo...
O meglio: a un palese contrasto con ciò che dice l'esperienza.
"Assurdo" dovremmo riservarlo a una contraddizione logica, che qui non
c'è.
Dunque, qualche ipotesi è incompatibile con la realtà. Quale?
Hai anche posto uguali le pressioni: su che base?
Cerchiamo di precisare la situazione reale.
Hai un serbatoio a monte, e una presa che porta l'acqua alla condotta.
Al pelo libero del serbatoio la pressione è quella atmosferica P0.
Al livello della presa, ma lontano da questa, sarà P1, di poco
maggiore (legge di Stevino). Possiamo trascurare la differenza,
rispetto al dislivello assai maggiore che avremo nella condotta:
P1 =~ P0.
All'imboccatura della condotta avremo P2, che potrà essere solo
minore di P1, grazie a Bernoulli: la velocità dell'acqua è maggiore.
Però proviamo a fare una stima, che ci servirà poi:
rho*v1^2/2 + P1 = rho*v2^2/2 + P2 (le quote sono uguali)
P1 - P2 = rho*(v2^2 - v1^2)/2.
Assumerò v1 trascurabile, v2 (velocità nella condotta) = 1 m/s; rho 10^3 kg/m^2, quindi
P1 - P2 = 10^3*1/2 = 500 Pa
ossia una differenza esigua (ricorda che la press. atmosferica è circa
10^5 Pa). 500 Pa sono prodotti da un dislivello di 5 cm!
La trascuro, e quindi anche P2 =~ P0.
A valle, se la condotta si apre nell'aria, abbiamo di nuovo P3 = P0.
Quindi la tua ipotesi è corretta.
Se ci fosse una qualsiasi ostruzione, per es. le pale di una turbina,
P3 potrebbe essere sensibilmente > P0, aggravando l'assurdo.
Ma c'è di peggio...
Supponiamo che il dislivello nella condotta sia z2 - z3 = 500 m.
Nell'eq. di Bernoulli abbiamo
P2 + rho*g+z2 = P3 + rho*g*z3
P3 - P2 = rho*g*(z2 - z3) = 10^3*10*500 = 5*10^6 Pa
che è assolutamente incompatibile con le ipotesi fatte!
Credo che avrai capito dove sta l'inghippo: il teor. di B. non è
applicabile perché il fluido non può essere considerato ideale.
Non si può trascurare la viscosità.
Proviamo a tenerne conto, supponendo per semplicità che il flusso sia
laminare.
La legge di Poiseuille ci dice, per la perdita di carico:
P2 - P3 = 8*eta*L*Q/(pi*R^4)
dove
eta (visc. dell'acqua) = 1 mPa s.
L (lunghezza) lo prendo = 1 km
Q (portata) l prendo = 1 m^3/s
R (raggio del tubo) lo prendo = 0.5 m.
Sono valori arbitrari, ma mi sembrano ragionevoli.
Se vuoi, puoi cambiarli e rifare i conti.
Abbiamo
P2 - P3 =~ 40 Pa.
Una perdita di carico incredibilmente piccola per un tubo lungo 1 km!
Ancora qualcosa che non funziona.
Forse il flusso non è laminare?
Proviamo a calolare il n. di Reymolds:
Re = v*2R*rho/eta = 10^6
(ho preso v = 1 m/s; facendo i conti pe bene, con quella portata, in
regime laminare, la velocità al centro del tubo sarebbe 2.5 m/s).
Con un Re così grande, altro che regime laminare!
Ecco che tutto si chiarisce...
Il flusso nel tubo è turbolento.
La perdita di carico è molto maggiore di quella calcolata.
L'eq. di Bernoulli non vale, a meno di non correggerla inserendoci la
perdita di carico:
P3 - P2 = rho*g*(z2 - z3) - DP
dove ho indicato con DP la perdita di carico turbolenta, che non mi
azardo a calcolare, ma che potrà benissimo compensare il termine
piezometrico, che vale 5*10^6 Pa, come avevamo già visto.
Non so se sono stato chiaro, e nemmeno se tutto quello che ho scritto è
giusto.
La buona volontà ce l'ho messa :-)
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Elio Fabri
Received on Sun Apr 15 2018 - 22:11:23 CEST