On 21 Lug, 23:41, Alessandro Cara wrote:
> ..... sono
> incappato nelle due formule E=mc^2 e E=1/2mv^2
> La mia domanda: "E" e' una energia /diversa/ ?
> E se non lo e' come,dove,quando e soprattutto perche' sparisce l' 1/2?
Allora,
prima di tutto, ricordiamo che
in relativit� ristretta, non possiamo considerare la massa costante al
variare della velocit�: la massa m della particella a velocit� v �
legata alla massa a riposo m0, cio� alla massa della particella da
ferma, mediante la seguente relazione
m uguale m0/RadiceQuadrata(1-v^2/c^2)
uguale m0 * (1-v^2/c^2)^(-1/2)
Ti faccio notare che, per v non nullo e minore della velocit� della
luce c, m � maggiore di m0
(inoltre m tende a infinito per v che tende a c).
Bene.
Chiarito ci�, possiamo scrivere l'energia totale di una particella nel
seguente modo
E uguale mc^2 uguale
m0 c^2 + (m - m0) c^2
dove
m0 c^2 � l'energia della particella a riposo
(m-m0) c^2 � l'energia cinetica.
Ora, per fare un confronto corretto,
dobbiamo confrontare l'espressione classica dell'energia cinetica
con l'espressione relativistica ancora dell'energia cinetica, che � (m-
m0) c^2,
non con l'espressione relativistica dell'energia totale, che � mc^2.
Vediamo cosa viene fuori:
(m-m0) c^2 uguale
[m0 * (1-v^2/c^2)^(-1/2) - m0 ] c^2
uguale
m0 *[(1-v^2/c^2)^(-1/2) - 1] c^2
Non se tu abbia studiato le serie di Taylor, in particolare la serie
binomiale, ma anche se non l'hai studiata, non importa.
Devi sapere che, se consideri un numero x compreso tra -1 e 1, puoi
applicare la seguente approssimazione:
(1+x)^(-1/2)
uguale
1 - (1/2) x + ((1*3)/(2*4)) x^2 - ((1*3*5)/(2*4*6)) x^3 + ......
uguale
1 - (1/2) x + (3/8) x^2 - (5/16) x^3 +.....
____________________________________________________________________
Puoi saltare, questo che scrivo tra le due linee, se vuoi.
E' un caso particolare di
(1+x) ^ alfa uguale
(alfa su 0) + (alfa su 1) x + (alfa su 2) x^2 + (alfa su 3) x^3
+ .....
per ogni x appartenente a ]-1,1[ .
______________________________________________________
In particolare,
se poniamo
x uguale -v^2/c^2,
possiamo scrivere:
(1-v^2/c^2)^(-1/2)
uguale
1 + (1/2) v^2/c^2 + (3/8) v^4/c^4 + (5/16) v^6/c^6 +.....
Dunque, l'espressione relativistica dell'energia cinetica pu� essere
approssimata nel modo seguente:
(m-m0) c^2 uguale
m0 *[(1-v^2/c^2)^(-1/2) - 1] c^2
uguale
m0 *[(1/2) v^2/c^2 + (3/8) v^4/c^4 + (5/16) v^6/c^6 +.....] c^2
Capirai che, se v � molto minore di c,
i termini successivi della serie diventano poco significativi,
perch� tendono a 0 pi� rapidamente,
e diventa importante solo il primo termine.
Dunque, per v molto minore di c,
puoi scrivere
(m-m0) c^2 uguale
m0 *[(1/2) v^2/c^2] c^2
uguale
(1/2) m0 v^2
che � l'espressione classica.
Spero di esserestato utile.
Ciao.
--
Gino Di Ruberto, Napoli
IK8QQM - K8QQM
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"E' curioso a vedere che quasi tutti gli uomini che valgono molto
hanno le maniere semplici e che quasi sempre le maniere semplici sono
prese per indizio di poco valore."
(Giacomo Leopardi)
Received on Fri Jul 27 2012 - 18:37:24 CEST