Filiberto ha scritto:
> Nella definizione di prodotto semidiretto � implicito un
> omomorfismo.
Un gruppo G e' prodotto semidiretto di due sottogruppi N e C se:
1) N e' sottogruppo invariante di G
2) C e' isomorfo a G/N
3) per ogni g in G esiste un solo n in N e un solo c in C tali che g=nc.
> In questo caso dovrebbe essere un omomorfismo di SO(2) nel semigruppo
> degli endomorfismi del gruppo abeliano delle traslazioni??
No... E^2 contiene come sottogruppi sia SO(2) sia T (gruppo delle
traslazioni).
T e' l'N della definizione, SO(2) e' il C.
Infatti T e' s.g. invariante di E^2, SO(2) (rotazioni attorno
all'origine) e' isomorfo al quoziente E^2/T, e ogni elemento di E^2 si
puo' ottenere facendo seguire una traslazione a una rotazione attorno
all'origine.
> Perch� sono omomorfi, vero?? In generale come si fa a dimostrare se
> due gruppi sono o meno omomorfi?? Come si fa a capire se la struttura
> del gruppo � conservata?
Che ci sia l'omomorfismo, l'ho asserito sopra.
Un criterio generale molto utile e' proprio il _toerema
dell'omomorfismo_, che dice:
"Se esiste un imomorfismo da G _su_ G', allora il nucleo e' un s.g.
invariante H di G, e il quoziente G/H e' isomorfo a G'.
E' anche vero il viceversa."
Percio' un buon cirterio per verificare l'esistenza dell'omomorfismo
sta nell'identificare il nucleo, che deve essere s.g. invariante di G.
Nel nostro caso, se t e' una traslazione, e g un qualsiasi elemento di
E^2, e' sempre vero che gtg^(-1) e' ancora una traslazione (in genere
in direzione diversa).
Quindi T e' s.g. invariante di E^2.
Poi ricorda che un omomorfismo definisce una relazione di equivalenza:
soo equivalenti gli elementi di G che hanno la stessa immagine.
Dire che H e' s.g. invariante significa che l'equivalenza e' fatta "a
meno di elementi di H", ossia che sono equivalenti elementi che si
ottengono l'uno dall'altro moltiplcando a destra o a sinistra per un
elemento di H.
Nel nostro caso, sono equivalenti elementi di E^2 che differiscono uno
dall'altro per una traslazione.
Ne segue che in ogni classe di equivalenza c'e' un elemento che tiene
fissa l'origine, e che quindi appartiene a SO(2).
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Elio Fabri
Received on Wed Sep 12 2007 - 21:24:41 CEST