Il 12 Ago 2007, 21:42, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> Sara' perche' ci sono un po' di teorici che hanno in dispetto la
> precisione matematica...
> Il che spesso e' innocuo, ma a volte provoca anche discreti casini.
>
> Comunque e' una cattiva abitudine dal punto di vista didattico,
> perche' educa gli studenti a studiare col cervello scisso: "quando si
> fa matematica si ragiona e ci si esmprime in un modo; quando si fa
> fisica in un altro".
Esatto. Ma questo dipende molto spesso dall'imprecisione di molti fisici per
quanto riguarda le nozioni di matematica. Dipende secondo me dalla scarsa
preparazione matematica che hanno i fisici. Anche se sono una spanna avanti
rispetto ai matematici perch� hanno idee geniali!! Sono un p� di parte...
> > Si tratta di omorfismo perch� la relazione di commutazione tra i
> > generatori dei due gruppi � la stessa?
> No. Come ho detto, omomorfisno e' un concetto puramente algebrico.
Vediamo di definirlo. Mi pare che nessuno l'abbia fatto prima.
Dati due gruppi (G, *) e (H, �) una funzione f
f : G ---> H
� un omomorfismo se f(a*b) = f(a)�f(b) per ogni a e b appartenenti a G.
In questo modo f manda l'elemento neutro di G nell'elemento neutro di H
e l'inverso di G nell'inverso di H. Quindi f � compatibile con la struttura
di gruppo.
Se f � una funzione niunivoca abbiamo un isomorfismo. (Walter mi correga se
sbaglio).
Ora nel nostro caso l'operazione tra i due gruppi � la stessa ed � la
moltiplicazione tra matrici. Sarebbe interessante vedere due gruppi (magari
di interesse fisico) in cui le due operazioni * e � siano diverse. Ma io non
saprei che gruppi citare. Forse gruppi non di Lie???
> Puoi quindi avere anche omomorfismi tra gruppi dove non ha neppure
> senso parlare di generatori (non sono gruppi di Lie).
> Oppure puoi avere omomorfismo tra gruppi di Lie senza che le rel. di
> comm. siano conservate.
Per esempio??
> Se invece le rel. di comm. sono conservate, vuol dire che
> l'omomorfismo e' di un tipo particolare: i due gruppi hanno la stessa
> algebra di Lie, e sono quindi _localmente isomorfi_.
> In altre parole, il nucleo dell'omomorfismo e' un gruppo discreto.
> Nel nostro caso per es. il detto nucleo consiste delle due matrici I e
> -I.
>
> > Perch� non � un omeomorfismo?
> In generale non puo' esserlo perche' omeomorfismo e' prima di tutto
> un'appl. bigettiva; un omomorfismo proprio (ossia non isomorfismo) non
> lo e' per definizione.
> Nel nostro caso poi c'e' di peggio: SU(2) e' semplicemente connesso,
> SO(3) no (questo ha a che fare con le rotazioni di 360 gradi che
> cambiano segno agli spinori...).
>
> Filiberto ha scritto:
> > Mi verrebbe da dire che questa matrice mi manda un generico vettore
> > nel suo simmetrico rispetto all'origine delle coordinate. Per esempio
> > se prendo un vettore nel piano xy mi ruota il vettore di 180 gradi.
> > Adesso io voglio vedere se c'� una corrispondente matrice unitaria con
> > determinante uguale a 1 che corrisponda a questa rotazione. Direi che
> > esiste e che � la matrice 2x2 diag (i , - i). Questa matrice �
> > unitaria, ha determinante 1, quindi appartiene al gruppo SU(2) e
> > corrisponde a una matrice di rotazione di 180 gradi nel gruppo O(3).
> > Dimmi dove sbaglio...
> Un'inversione rispetto all'origine *non e'* una rotazione.
> Le rotazioni hanno determinante 1, l'inversione ha det. -1.
> Tu devi invertire tutte le componenti: non ti puoi limitare al solo
> piano (x,y).
Si hai ragione. Io interpretavo l'inversione come un tipo particolare di
rotazione.
Grazie per la risposta.
Filiberto
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Received on Tue Aug 14 2007 - 01:29:41 CEST