Re: Lezioni "Principi d'invarianza..."

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 2 May 2007 12:10:16 -0700

On 1 Mag, 20:49, Elio Fabri <elio.fa..._at_tiscali.it> wrote:
> Valter Moretti ha scritto:> ...
> > In realt� si pu� dire di pi�, quella condizione � anche sufficiente
>
> Si' certo, se no il teorema di Gel'fand-Najmark che cosa sarebbe?
>
> > (per� bisogna sempre aggiungere la presenza dell'identit�).
>
> Questa storia dell'unita' invece non mi e' chiara...

Ciao, ho cancellato i miei precedenti posts di risposta a questo
perch� avevo fatto troppa confusione, scusa avevo appena finito di
fare lezione su cose attinenti ed ho fatto un casino. Dovrei riposarmi
prima di rispondere.

> Come avevo detto, sono andato a riguardare il lavoro di Haag e
> Kastler, e mi ha confuso le idee.

E' vero in quell'appendice che dici sotto � detto tutto in modo un p�
troppo stringato...

> Non so se lo conosci: c'e' un'appendice quasi illeggibile, dove e'
> riassunto "tutto quello che avreste dovuto sapere sulle C*-algebre"
> :-)
> Da come sono dette le cose li', sembra che basti una "unita'
> approssimata", che non e' detto che cosa sia.
>


E' un concetto un p� contorto, tuttavia non ne vale la pena di usarlo
dato che si fa prima ad assumere che ci sia l'unit� (nelle
applicazioni fisiche in cui non c'� niente di male ad assumere
nell'algebra delle osservabili quello che poi corrisponde
all'operatore identit� in ogni spazio di Hilbert) piuttosto che
lavorare con l'unit� approssimata. In alcuni contesti non c'� proprio
modo di assumere l'esistenza dell'identit� per motivi di
interpretazione (geometria non commutativa su variet� non compatte).
In ogni caso il teorema GNS richiede in un modo o nell'altro la
presenza dell'identit� anche lavorando con *-algebre, nel momento in
cui si costruisce il vettore ciclico.

Si ragiona come segue ma lo saprai gi�.
Si prende omega (funzionale positivo sulla *-algebra o C*-algebra A)
si usa come prodotto scalare su A quozientando A rispetto ad un certo
ideale sinistro J degli elementi che annullano omega (pi�
precisamente J � fatto dagli elementi di A a per cui omega(b*a) = 0
per ogni b in A). Il quoziente si deve fare perch� omega �
semidefinito positivo ma non necessarimante definito positivo [se lo
� la rappresentazione GNS � fedele]. In questo modo il funzionale
omega ridefinito su A/J (che � uno spazio vettoriale di classi di
equivalenza [a] ) � un vero prodotto scalare hermitiano definito
positivo. Il completamento di A/J definisce lo spazio di Hilbert
della costruzione GNS. La rappresentazione Pi la
costruisci banalmente come, se a e b sono in A:

Pi(a) [b] := [ab]

Infine il vettore ciclico � proprio la classe di equivalenza [1], dove
1 � l'identit� di A. Se A non ha l'identit� il vettore ciclico GNS lo
devi costruire in un altro modo pi� complicato. Devi passare ad una *-
algebra pi� grande che include l'identit� (non necessariamente
interpretata come osservabile) e che contiene la precedente. Poi si
dimostra che omega si estende ad un funzionale positivo su di essa e
si ricade nel caso precedente. Quindi in un modo o nell'altro l'unit�
ce la devi mettere.

C'� un altro punto dove entra in gioco l'unit� ma non � cos�
importante...


> > C'era una cosa che non capivo, ma ci devo pensare e poi ti dir�.
>

Mi sono poi risposto da solo, non c'era nulla che non andasse in
quello che avevi scritto, riguardava il fatto che, come scrivi nel
secondo capitolo, se il commutante delle osservabili non � banale
allora non tutti gli operatori autoaggiunti dello spazio di Hilbert
sono osservabili. Mi sembrava che paradossalmente ci� implicasse, in
una formulazione algebrica, che le osservabili dipendessero dallo
stato che si sceglie...Ma � tutto OK.

Ciao, Valter
Received on Wed May 02 2007 - 21:10:16 CEST