Il 08 Apr 2007, 18:07, Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it> ha scritto:
> Elio Fabri wrote:
> ...
> > Direi che il ragionamento fila per la prima fase dell'avvicinamento, ma
> > non per la parte finale.
> > Lo si puo' vedere guardando i valori numerici.
> ...
Non sono sicurissimo di aver capito esattamente i seguenti
aspetti, ma proviamo ad esporre un dubbio per volta. Se i nuclei si
avvicinano gli elettroni devono pure loro avvicinarsi, (la rarefazione
produrrebbe
una prevalenza dell'energia coulombiana repulsiva)
quello che permette agli elettroni di addensarsi insieme ai nuclei,
in termini quantistici, � il fatto che il livello di
Fermi si alza come 1/d, quindi il principio di
indeterminazione non li vincola pi� a stare a distanze medie dell'ordine
del raggio di Bohr. Dunque � vero che gli elettroni guadagnano
energia cinetica, per� � anche vero che guadagnano energia coulombiana
(negativa)
In termini quantivi l'energia cinetica va come h^2 k_F^2/ 2m ovvero
4pi^2 [(hc/d)^2 / (2mc^2)] quelli che
ne guadagnano di pi� sono gli elettroni. Mentre l'energia coulombiana
va come e^2/ [(4 pi e_o) d] = alfa hc/d. Il rapporto fra queste energie
si sposta solo gradatamente a favore dell'energia cinetica secondo il
rapporto alfa mc d / h che per d dell'ordine del raggio di Bohr dovrebbe
essere dell'ordine di 1/2 (stante il teorema del viriale).
Occorre fare anche attenzione al fatto che il numero di coppie
di uguale carica � N(N-1) mentre il numero di coppie di carica
opposta � N^2 quindi l'energia coulombiana � prevalentemente attrattiva
e scala linearmente con N. Considerato tutto questo possiamo dire
che la condizione per la quale il termine di Fermi-Pauli diventa prevalente
� quando d � circa met� del raggio di Bohr? (Dubbio)
Direi che se stiamo parlando di idrogeno questo sembra ragionevole,
anche se questo discorso trascura del tutto considerazioni relative alla
correlazione che � legata alla forma concreta degli orbitali, quindi
riarrangiamenti della densit� elettronica, compatibili con il principio
di Fermi saranno prevalenti, ma fino a che valori di densit�, sar�
una buona stima d = a/2?
Per atomi pi� pesanti dell'idrogeno l'energia di prima
ionizzazione segue la tavola periodica, ma per questi atomi,
in pratica nelle fasi iniziali di avvicinamento solo una
componente marginale sar� interessata
dai fenomeni di scambio, sappiamo infatti che in prima approssimazione
la distribuzione di carica segue un andamento decrescente esponenzialmente,
in modo che i termini di repulsione legati ai fenomeni di scambio saranno
di tipo esponenziale.
Quando invece le densit� diventano significative (8 volte pi� grandi
della densit� di riposo?) e gli elettroni sono quasi tutti pi� veloci
e vicini e la materia si scalda per effetto delle pressioni elevate,
anche la struttura dinamica dei campi elettromagnetici conta,
infatti per situazioni dinamicamente molto robuste l'irraggiamento
non � pi� trascurabile.
Rimaniamo per� al caso di sistemi in pura pressione, cio� sistemi
per cui la temperatura � relativamente meno importante, questo
� per esempio il caso di metalli fortemente compressi, in un futuro
magari lontano, o in condizioni di genesi dei pianeti diverse da
quelle del nostro sistema solare potrebbero esistere noccioli
relativamente freddi (per l'assenza di materiali radioattivi) e pressioni
molto elevate. Comunque la mia considerazione � solo teorica.
Sappiamo che il raggio di Bohr � dell'ordine di 1/alfa^2 volte il raggio
classico dell'elettrone, in modo che possiamo stare relativamente
tranquilli sul fatto che l'approssimazione di elettrone di massa
m_e funziona ragionevolmente bene per gli elettroni chimici,
tuttavia gli elettroni pi� vicini al nucleo saranno a
distanze relative l'uno dall'altro di circa 1/Z^2 volte quindi fenomeni
di densit� molto sostenuta saranno presenti per elettroni interni di
atomi pesanti come il ferro. Allora: finch� parliamo di materia molto
calda, come nel caso delle stelle mi sembra ragionevole che la
materia elettronica risulti rarefatta per effetto della pressione di
radiazione elettromagnetica in modo che i nuclei se ne staranno ben
bene distanziati, per materia pi� fredda a pressioni elevate avremmo
situazioni critiche in cui gli elettroni sono molto vicini e vanno trattati
con gli opportuni strumenti di alta densit�, quindi prevalgono i termini
di scambio e di correlazione guidati verso l'alto da elevati termini
coulombiani, siccome molti elettroni ad elevate densit� possono accedere
a stati di momento orbitale pi� elevati,
possiamo pensare che si abbiano effetti di riduzione della
dimensionalit�, cio� potrebbero aggiungersi termini repulsivi di tipo
logaritmico. Un altro
modo di vedere questo fenomeno � pensare che ad alte densit� gli
elettroni si coordinano in modo che la massa efficace aumenta rispetto
alla massa di vuoto, in modo che l'energia cinetica non cresce pi�
secondo 1/r^2 ma secondo leggi di scala caratteristiche e compaiono in pi�
termini come il logaritmo di r. In tutti questi casi, comunque
la lunghezza di schermo sar� comunque dell'ordine del raggio di Bohr.
Mi aspetterei allora questi regimi: per valori confrontabili con la
distanza di riposo l'energia coulombiana (negativa) non cresce
esattamente come 1/d ma come qualche funzione di 1/d che
tiene conto del riarrangiamento della densit� elettronica degli
strati esterni. Corretto? Oppure si va proprio come 1/d?
Per valori confrontabili con met� della distanza
di riposo l'energia coulombiana comincia ad avvicinarsi ad un
riscalamento di tipo 1/d perch� la densit� elettronica tende a
diventare relativamente omogenea, molti elettroni si cominciano
a trovare in uno stato pressoch� conduttivo, infatti le bande si
abbassano ed il livello di Fermi si alza.
Per un ulteriore avvicinamento
in un range fra cento e dieci Fermi (pressioni gi� introvabili
in pianeti come Giove , da quel che dici) non mi � molto
chiaro cosa si verificherebbe, all'incirca mi aspetto che
l'energia cinetica non crescerebbe pi� al ritmo
di prima, ma pi� lentamente, come si ha nel caso degli elettroni
vicini ai nuclei, con elevata correlazione. Possibile? Oppure c'�
qualche effetto di compensazione che mi sfugge?
Un altro aspetto che non
mi � chiaro � se a densit� tanto elevate, quindi con elevate pressioni,
ma basse temperature, non potrebbero essere favorite situazioni
di densit� eterogenee. L'idea � questa: supponiamo di avere
due onde, con due picchi di densit�, che vengono ad incontrarsi,
la sovrapposizione comporta che se l'energia scala meno che
linearmente nella densit�, si abbia un guadagno di energia che
sarebbe rilasciata come energia cinetica del bagno a densit�
uniforme. Man mano che la densit� aumenterebbe si dovrebbe
giungere ad una situazione limite in cui la fase a densit� elevata
� generica e quindi pu� tornare a crescere.
> Vero. Avrei dovuto mettere qualche caveat di piu' sul caso limite Be. Di
> fatto le energie per arrivare su configurazioni tipo Be sono cosi'
> grandi da rendere tutto il processo ideale di avvicinamento progressivo
> dei nuclei molto poco realizzabile fisicamente senza sconvolgere
> completamente gli stati elettronici atomici. Tuttavia il limite Be era
> anche l' unica situazione in cui fosse possibile rendersi conto in modo
> semplice (p.es. senza passare per lo splitting dei livelli atomici nella
> formazione degli orbitali molecolari) che il principio di Pauli entra
> in gioco in modo essenziale per guidare un riarrangiamento elettronico.
>
> Va forse notato, per mettere le cose in prospettiva, che alle
> pressioni enormi dell' interno di un pianeta gigante come Giove la
> distanza tra nuclei di elio e' ridotto di circa un fattore 10 rispetto
> alle distanze interatomiche a pressisone ordinaria.
E quant'� la temperatura, che conoscenza si ha delle equazioni
di stato in condizioni estreme come quella?
> Giorgio
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Received on Thu Apr 12 2007 - 00:06:20 CEST