Re: Cilindro che rotola lungo un piano inclinato

From: Giorgio Bibbiani <giorgiobibbiani_at_TIN.it>
Date: Tue, 12 Mar 2019 20:00:00 +0100

Il 20/01/2019 2.47, ngs ha scritto:
> Consideriamo un cilindro di raggio R che rotola lungo un piano inclinato
> senza scivolamento (without slipping). Il cilindro non ha massa se non
> per una particella di massa m fissata ad esso (a una qualche distanza l
> (elle) dal centro).

Intendo distanza l dall'asse di simmetria cilindrica.

> Il libro che sto leggendo determina prima r(t), cioè la posizione della
> particella (che conterrà incognite, ovviamente), che poi deriva due
> volte (risp. a un sistema inerziale) per trovare r''(t). A questo punto
> usa la seconda legge di Newton:
> m r''(t) = F
> dove F è la somma di 3 forze: forza di gravità, forza d'attrito e forza
> normale alla superficie del piano.
> Le forze vengono sommate come se fossero applicate direttamente alla
> particella.
>
> *Prima domanda:* Perché è lecito sommare le forze in questo modo? Forse
> perché il disco è un corpo rigido e la particella è banalmente il suo
> centro di massa?

Solo perché il c.d.m. coincide con la posizione della
particella, l'ipotesi di corpo rigido non è necessaria
per generalizzare la seconda legge di Newton a un corpo
esteso.

> [devo ancora studiare la cinematica e dinamica dei
> corpi rigidi]

Candida ammissione! ;-)

> Il sistema di eq. diff. risultante non è facile da risolvere perché la
> forza d'attrito è sconosciuta.

Giusta riprova della potenza del metodo lagrangiano...

> Allora, il libro considera il momento
> angolare della particella:

In quale riferimento? Intendo in quello K'
non inerziale e non rotante solidale a C.

> H'_C = L_C + m r''_C x \sigma (1)
> dove:
> C è il centro del disco;
> \sigma è il vettore da C alla particella;
> H_C = \sigma x m\sigma'';

C'è un apice di troppo nella velocità sigma'.

> è il momento angolare della particella rispetto a C;
> L_C = \sigma x F
> è il momento della forza F rispetto a C;

Non mi torna questa definizione, ed è chiaramente in
contrasto con quella che scrivi poi (L_C definito sopra
non dipende dai punti di applicazione delle forze).

> r_C è la posizione di C rispetto al sistema inerziale.
>
> L_C è in realtà calcolato come la somma dei momenti delle 3 forze:
> L_C = app1_C x F1 + app2_C x F2 + app3_C x F3
> dove appi è il punto di applicazione della forza Fi, per i=1,2,3.

Questa mi torna, se intendo che appi_C
sia il raggio vettore da C ad appi.

> *Seconda domanda:* Perché è corretto calcolare L_C in tale modo?
...

Perché è la definizione del momento delle forze totale rispetto
a C (a meno del contributo dovuto alla forza inerziale presente
in K', cioé l'ultimo termine nell'equazione (1)).

> *Terza domanda:* Non sarebbe più furbo calcolare il momento angolare e i
> momenti delle forze rispetto al punto di contatto tra disco e
> superficie? In tal modo, resterebbe soltanto la forza di gravità perché
> le altre due avrebbero bracci (si chiamano così?) nulli.

Direi di sì, ma non so quale fosse lo scopo
dell'autore, né come si svolgesse poi il
ragionamento.

Nota 1: ho un po' tribolato a capire le notazioni,
pesanti per me e non completamente esplicitate.
Nota 2: fai attenzione che quando si risolvono
problemi del genere, la _prima_ cosa da fare è
scegliere ed esplicitare gli opportuni sistemi
di riferimento.

Ciao

-- 
Giorgio Bibbiani
Received on Tue Mar 12 2019 - 20:00:00 CET

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