Cilindro che rotola lungo un piano inclinato

From: ngs <ok_at_ok.de.invalid>
Date: Sun, 20 Jan 2019 02:47:13 +0100

Premetto che non sono interessato a una soluzione alternativa al
problema, ma piuttosto a sciogliere alcuni dubbi esplicitati nelle 3
domande presenti nel testo che segue.

Consideriamo un cilindro di raggio R che rotola lungo un piano inclinato
senza scivolamento (without slipping). Il cilindro non ha massa se non
per una particella di massa m fissata ad esso (a una qualche distanza l
(elle) dal centro).

Il libro che sto leggendo determina prima r(t), cioè la posizione della
particella (che conterrà incognite, ovviamente), che poi deriva due
volte (risp. a un sistema inerziale) per trovare r''(t). A questo punto
usa la seconda legge di Newton:
   m r''(t) = F
dove F è la somma di 3 forze: forza di gravità, forza d'attrito e forza
normale alla superficie del piano.
Le forze vengono sommate come se fossero applicate direttamente alla
particella.

*Prima domanda:* Perché è lecito sommare le forze in questo modo? Forse
perché il disco è un corpo rigido e la particella è banalmente il suo
centro di massa? [devo ancora studiare la cinematica e dinamica dei
corpi rigidi]

Il sistema di eq. diff. risultante non è facile da risolvere perché la
forza d'attrito è sconosciuta. Allora, il libro considera il momento
angolare della particella:
   H'_C = L_C + m r''_C x \sigma (1)
dove:
   C è il centro del disco;
   \sigma è il vettore da C alla particella;
   H_C = \sigma x m\sigma'';
     è il momento angolare della particella rispetto a C;
   L_C = \sigma x F
     è il momento della forza F rispetto a C;
   r_C è la posizione di C rispetto al sistema inerziale.

L_C è in realtà calcolato come la somma dei momenti delle 3 forze:
   L_C = app1_C x F1 + app2_C x F2 + app3_C x F3
dove appi è il punto di applicazione della forza Fi, per i=1,2,3.

*Seconda domanda:* Perché è corretto calcolare L_C in tale modo?
Mi pare comprensibile che non abbia senso sommare le forze ignorando i
punti d'applicazione, però è anche vero che 2 forze vengono applicate a
punti senza massa. Forse possiamo fare finta di avere 3 particelle
(soltanto una con massa positiva) e ricondurci al caso del corpo rigido
(che devo ancora studiare ufficialmente)?

*Terza domanda:* Non sarebbe più furbo calcolare il momento angolare e i
momenti delle forze rispetto al punto di contatto tra disco e
superficie? In tal modo, resterebbe soltanto la forza di gravità perché
le altre due avrebbero bracci (si chiamano così?) nulli.

Kiuhnm
Received on Sun Jan 20 2019 - 02:47:13 CET