Re: Estensione del lemma di Riemann-Lebesgue

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 15 Feb 2007 08:14:41 -0800

On 15 Feb, 14:09, nat..._at_hotmail.it (Sandro Natale) wrote:

> Stavo pensando alle funzioni di Jacobi che hanno un periodo dato T ed una
> rappresentazione del tipo di quella che ho data. Dunque, se sostituisco la
> funzione seno con una Jacobi sn o cn con un parametro che va all'infinito
> continua a valere il lemma di Riemann-Lebesgue? Lo stesso e' vero per una
> funzione qualsiasi rappresentabile da una serie di seni e coseni?
>
> > Ciao, Valter
>
> Ciao e grazie,
>
> Sandro


Domanda difficile, in generale mi aspetto che la risposta sia
negativa. Si possono per� trovare condizioni sufficienti, nel tuo
caso per cui la cosa funzioni.

In riferimento a g(t)=sum a_n sin(a*n*omega*t) e f definite in [a,b],
se riesci a trovare una successione di numeri positivi p_n per cui

sum_n p_n <+00

e anche, per ogni t in [a,b] e a< +oo

  (notare il modulo dentro l'integrale)

 Int | a_n sin(a*n*omega*t) f(t)| dt =< p_n

allora quello che dici � sicuramente vero:

int g_a(t) f(t) dt -> 0 per a -> +oo

applicando il teorema di Fubini-Tonelli, quello della
convergenza dominata di Lebesgue ed infine il lemma di Riemann-
Lebesgue.

Se la serie (notare il modulo)

sum_n |a_n|

converge e se la funzione f � limitata su [a,b] (per ese se f �
continua), allora siamo a posto.
Ora non mi ricordo quello che succede per le funzioni di Jacobi che
citi...

Ciao, Valter
Received on Thu Feb 15 2007 - 17:14:41 CET