Fluido-dinamica: Operatore bi-laplaciano problema stokes sfera

From: <faraone9_at_virgilio.it>
Date: Sun, 7 Apr 2013 11:09:30 -0700 (PDT)

Ragazzi mi serve aiuto su una cosa su cui mi sto scervellando ma non ne vengo a capo..
Ho una funzione f(r) regolare, analitica, tutte le propriet� che volete.
f dipende solo da r
ne considero il gradiente in coordiante sferiche.
grad(f(r))=(d/dr)(f(r))vers(r)

dove vers(r) � il versore del sistema di coordinate sferiche.
Definisco

grad^4 l'operatore bi-laplaciano grad^4= div(grad(div(grad()))

Nel seguito il sistema di riferimento � sempre quello in coordinate sferiche quindi il bi-laplaciano � un operatore che va espresso in coordinate sferiche.
Chiarito ci� ho questa equazione, che devo risolvere:

grad^4(grad(f(r)))=0 (1)


Tale equazione esce fuori nel problema di stokes per la sfera solida che si muove di moto rettilineo uniforme in un mezzo viscoso. Per referenze Landau-Lifschitz Fluid Dynamics, vol 6 pag 59, espressione 20.5.

Bene il problema � questo, come diavolo si fa a passare dalla (1) alla seguente equazione che il Landau dice essere equivalente??

grad^4(f(r))=cost (2)
 
dove cost � determinata dalle condizioni al contorno all'infinito ed � uguale a zero.

Ora il passaggio 1->2 non � immediato a prima vista ..Il landau se la cava dicendo semplicemente che fa una integrazione ma secondo me non � vero..
Infatti, siccome f dipende solo da r la (1) si pu� riscrivere come:

(d^5/dr^5)(f(r))+ (4/r)*(d^4/dr^4)(f(r))=0 (1')

mentre la (2)

(d^4/dr^4)(f(r))+ (4/r)*(d^3/dr^3)(f(r))=cost (2')

com'� accade che 1' e 2' forniscono le stesse soluzioni?

Grazie a chi avr� la pazienza di rispondere, sono disponibile a chiarimenti spero ci sia qualcuno dentro questi argomenti di fluidodinamica qui.

Ho chiesto anche in it.scienza.matematica..scusate per la ridondanza dei post..ma mi interessa sapere una risposta alla fine � un problema matematico
Received on Sun Apr 07 2013 - 20:09:30 CEST