Il 02 Nov 2006, 00:19, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
> Tetis wrote:
> ...
> >
> > Con tutto il rispetto per Gantmacher il cui libro ho apprezzato
> > in piu' parti, era proprio questo il genere di inconsenguenzialita' a
cui
> > mi riferivo. Da dove piove questa definizione? per quale motivo non
potrebbe
> > essere (Q_k dP_k -Kdt)= c(t) (q_k dp_k) - Hdt + df ?
>
> Mi sembra che Gantmacher non facesse piovere dal cielo la formula ma
> usasse il teorema di Lee Hwa Chung sulla unicit� degli invarianti
> integrali per dedurre che c deve essere una costante. Purtropo per�
> non ho il tempo in questo periodo per riprendere in mano l' approccio
> di Gantmacher e verificarne direttamente la validit�.
E' riaffiorato il dubbio che al tempo non ero stato in grado di dissipare:
se hai sottomano il Gantmacher potresti controllare se usa da qualche
parte l'ipotesi che la trasformazione canonica conserva la struttura
canonica
delle equazioni di Hamilton per qualsiasi Hamiltoniana iniziale. Per come
mi ricordo la dimostrazione in questo momento mi sembra di no. Mi
sembra che consideri
l'immagine mediante una trasformazione canonica di un arbitraria curva
chiusa
nello spazio delle fasi ad un tempo fissato, considera poi le evoluzioni
temporali di questi cammini, confronta le circuitazioni e dice: per il
teorema
di Lee Hwa Chung devono stare in proporzioni indipendenti dal tempo.
A questo punto uno pu� chiedersi:
per quale motivo questa costante di proporzionalit�
viene posta indipendente dal punto iniziale?
E' abbastanza facile costruire un esempio di trasformazione che
conserva la struttura canonica delle equazioni di Hamilton per Hamiltoniana
nulla e che non ha aree delle immagini indipendenti dal punto iniziale.
Semplicemente basta scegliere l'Hamiltoniana nulla ed una trasformazione
liscia _qualsiasi_ purch� indipendente dal tempo conserva la struttura
canonica delle equazioni di Hamilton per questa Hamiltoniana.
Ho provato ad aggirare questa difficolt� usando il teorema che avevo citato
qualche post addietro. Ma non mi riesce. A suo tempo avevo cominciato
a pensare al fatto che dovendo essere conservata la struttura canonica delle
equazioni per ogni Hamiltoniana, uno pu�,
detto in parole spicciole, tappezzare il piano con copie identiche del loop
iniziale
ottenute mediante traslazioni (infatti � immediato costruire una
Hamiltoniana
che genera traslazioni nello spazio delle fasi secondo una qualsiasi
direzione
voluta). E quindi considerare l' immagine ad un dato tempo, mediante la
trasformazione Q(q,p,t) P(q,p,t).
E' abbastanza intuitivo che usando traslazioni elementari
possiamo costruire un tiling mediante ipercubetti di lati
dq1 dq2... dqn dp1 dp2 ... dp_n:
con una semplice procedura induttiva a partire
da un sistema di iperpiani lungo le direzioni coordinate, passanti per un
punto.
su cui consideriamo "loop campione" di uguale superficie nelle direzioni
(dq1 dp1) ... (dqn dpn).
Ora la trasformazione X(t) agisce su questa griglia applicandola, per
costruzione,
in una griglia i cui elementi d'area dP ^ dQ (F) sono i medesimi per ogni
faccetta "F" della griglia di Tiling, inoltre ogni paio di circuitini �
immagine
di una corrispondente paio di circuitini "f " le cui aree sono le medesime.
Quindi deve esistere un fattore di scala comune per tutti gli elementi, ad
ogni
tempo fissato. Ora si considera l'Hamiltoniana nulla e si riapplica
l'argomento
di Gantmacher. A questo punto il fattore di scala non pu� dipendere dal
tempo.
Quindi:
una arbitraria trasformazione che conserva la struttura canonica delle
equazioni di Hamilton per qualsiasi Hamiltoniana H, nel senso che applica le
linee di flusso q(t),p(t) di H(p,q,t) nelle linee di flusso Q(q(t),p(t),t)
P(q(t), p(t), t)
di una qualche Hamiltoniana K(Q,P,t), � tale che dQ_k^dP_k = a dq_k^dp_k
per ogni tempo t.
Era il 1992 quindi Giorgilli et. al avevano gi� dimostrato il loro teorema
:-)
ma io non lo sapevo, e forse non avrei nemmeno saputo riconoscere
la connessione al mio problema n� mi ricordo di essere mai andato
a scrivere questo ragionamento per esteso come sto facendo
adesso.
> La mia
> puntualizzazione era piuttosto nel senso che la definizione data
> inizialmente dall' OP di trasf. canoniche non era completamente
> campata per aria.
> Giorgio
>
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Received on Sat Nov 04 2006 - 19:42:34 CET