Re: modello di carica di una sfera

From: Paolo Russo <paolrus_at_libero.it>
Date: Mon, 13 May 2019 12:48:16 +0200

[robertofilippi63_at_gmail.com:]
> Ma rimane da affrontare la questione che ho posto.

Il fatto e` che hai posto la questione come se i due casi,
carica q2 puntiforme o ad accumulo progressivo, fossero due
diversi metodi per risolvere il problema, mentre invece
possono corrispondere a due problemi di fisica diversi, con
soluzioni distinte, e bisogna prima di tutto capire quale
dei due avesse in mente l'ideatore del problema.

Il problema della carica puntiforme e` che e` un'astrazione
che possiede energia infinita, quindi ha senso usare tale
astrazione se la carica e` gia` puntiforme all'inizio del
problema e lo rimane anche alla fine. Che ne e` della carica
q2 quando raggiunge la sfera? Rimane puntiforme appiccicata
a un punto della superficie o si distribuisce? Non a caso ti
e` stato chiesto se la sfera e` conduttrice.

Io darei per scontato che nell'intenzione dell'autore del
problema la sfera fosse conduttrice, la carica finale fosse
ben distribuita sulla sua superficie e quindi non fosse
puntiforme all'inizio (altrimenti nella soluzione
comparirebbe un infinito, che ha poco senso). Il modo
corretto di procedere sarebbe quindi tramite il calcolo
dell'integrale che hai gia` impostato, attento pero` che non
vale (k/2R)*(q2^2-q1^2) ma (k/2R)*((q1+q2)^2-q1^2).
E questo corrisponde al fatto che l'energia elettrica che la
sfera possiede per il solo fatto di avere una carica q vale
(k/2R)*q^2 (come si vede integrando da 0 a q), quindi
il lavoro che cerchi deve corrispondere alla differenza tra
l'energia finale e quella iniziale.

Se quindi il problema, nelle intenzioni dell'autore, non
prevede cariche q2 puntiformi, per usare il modello a carica
q2 puntiforme come approssimazione per risolverlo devi
implicitamente assumere che l'energia (idealmente infinita)
che occorre per concentrare quella carica in un punto prima
di avvicinarla alla sfera e l'energia (altrettanto infinita)
che poi si libera quando la carica ha raggiunto la sfera e
si ridistribuisce siano irrilevanti, o meglio che sia
trascurabile la differenza (finita) tra queste due energie
infinite, in modo da poterle omettere entrambe dal calcolo.
Puoi fare quest'assunzione se la carica q2 e` molto piccola
rispetto a q1. Piu' in dettaglio, se espandiamo la soluzione
dell'integrale, otteniamo:

L = k((q1 + q2)^2 - q1^2)/2R
L = k(q1^2 + q2^2 + 2 q1q2 - q1^2)/2R
L = k(q2^2 + 2 q1q2)/2R
L = k(q1 + q2/2)q2/R

di cui la soluzione a carica puntiforme L = k q1q2/R e` una
buona approssimazione quando q1+q2/2 e` approssimabile a q1,
quindi quando q2 e` molto minore di q1.

Ciao
Paolo Russo
Received on Mon May 13 2019 - 12:48:16 CEST