Re: "Genesi" delle funzioni di Bessel

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_fastwebnet.it>
Date: Fri, 24 May 2019 17:28:17 +0200

Archaeopteryx ha scritto:
> Non mi sono mai servite e di conseguenza non le ho mai
> approfondite. Senonché qualche giorno fa ho provato a
> guardare lo spettro di un segnale modulato in frequenza. A
> titolo di "memo", sono i coefficienti dello sviluppo in
> serie di Fourier di un segnale del tipo (credo):
>
> y=A*sin(B*sin(\omega *t+\varphi )+C*t)
In realtà quello che hai scritto è piuttosto una modulazione di fase.
Per segnali modulanti con unica frequenza i due concetti sono
indistinguibili, ma non è così se nel segnale BF ci sono più
frequenze.
Per spiegarmi meglio dovrei scrivere un po' di formulacce...

Se fai un'analisi spettrale di un segnale FM con BF monocromatica,
trovi che le bande laterali hanno frequenze distanziate dalla portante
per (infiniti) multipli della frequenza modulante. L'ampiezza della
n-ma banda laterale è J_n(z) dove z è l'indice di modulazione.
(Quello che so sulla FM - non molto di più di ciò che ho scritto)
proviene da un libro che comprai nel 1974. I concetti generali della FM
penso si possano trovare in molti posti.)

> Sono sicuro che [Bessel] non conosceva la modulazione di frequenza :)
> quindi devono esistere diverse classi di problemi in cui è naturale
> introdurre le funzioni di Bessel. La domanda è? C'è una "ratio", una
> sorta di meta-schema che ricorre e che le funzioni di Bessel
> descrivono in modo naturale?
Non ti saprei rispondere. Quello che è sicuro è che le f. di Bessel
ricorrono in campi assai lontani tra loro - in questo post ne indico
tre.

JTS ha scritto:
> Un'idea, che conosco in maniera approssimativa (forse qualcun altro
> sviluppera' meglio il tema) e' che le funzioni di Bessel rappresentano
> la simmetria per rotazioni.
Non riesco a capire che cosa intendi. Avrei capito di più se tu avessi
detto che le rotazioni (in 2D) hanno a che vedere con le funzioni
circolari, come le rotazioni in 3D hanno a che vedere con le armoniche
sferiche.
Però vedi appresso.

Gino Di Ruberto ha scritto:
> Non so se Bessel le abbia trovate stimolato da studi di ottica
> astronomica o meno.
Decisamente no. L'origine la conosco e sta nella meccanica celeste,
più esattamente nel problema dei due corpi.
Lo studio del moto angolare porta alla famosa *equazione di Keplero*:

u - e*sin(u) = phi

dove u è l'anomalia eccentrica e phi l'anomalia media.
La seconda è proporzionale al tempo, mentre la prima ha
un'interpretazione geometrica semplice ed è connessa con l'anomalia
vera, che è l'angolo polare calcolato a partire dal pericentro
Perciò sarebbe bello poter dare un'espressione di u in funzione di
phi, ma questo in funzioni elementari è impossibile.
Bessel tentò una serie di Fourier, serie di seni in phi.
Risultato: i coeff. sono (a parte un semplice fattore) funzioni di
Bessel con argomento i multipli dell'eccentricità.

Probab. quello che ho scritto sarà parecchio oscuro, a meno che chi
legge non sappia qualcosa sul problema dei due corpi; ma può bastare a
indicare il campo di origine delle f. di Bessel.
La cosa misteriosa è che abbiano trovato applicazione in campi del
tutto diversi.

Wakinian Tanka ha scritto:
> Bella domanda. So che emergono ad es come soluzione dell'equazione
> delle onde nel caso bidimensionale con condizione su un contorno che
> e' una circonferenza, es membrana vibrante di un tamburo.
In realtà le f. di Bessel compaiono quando si separano le variabili
nell'eq. di Helmholtz in coord. cilindriche.
In 3D compaiono invece le f. di Bessel sferiche, che a differenza di
quelle propriamente dette sono esprimibili in f. trigonometriche.
Per chi non lo ricordasse, l'eq. di Helmholtz è

Lapl f + k^2 f = 0

e discende dall'eq. delle onde, ma anche dall'eq. di Schroedinger,
quando si separa il tempo (soluzioni monocromatiche).
Poi se si opera la separazione anche nelle coord. spaziali, cosa
possibile in più sistemi di coordinate (ho dimenticato quanti)
compaiono varie altre "funzioni speciali", di cui le f. di Bessel sono
un caso.

                                             
-- 
Elio Fabri
Received on Fri May 24 2019 - 17:28:17 CEST

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