Re: Meccanica quantistica

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 19 Jun 2006 12:58:08 -0700

Tetis wrote:
> Il 17 Giu 2006, 13:28, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
>
> > P(0->1)=|A(0->1)|^2=|<1|0'><0'|0>|^2==|<1|U(t)|0><0|U^(-1)(t)|0>|^2.
> >
> > Questa dovrebbe essere la soluzione se non ho fatto errori.
>
> Ho una vaga idea che non sia cos� semplice, ma forse
> mi sbaglio. Ad ogni modo quello che hai scritto qui mi
> sembra che non vada bene, quanto t -> oo la trasformazione
> canonica (unitaria) che hai giustamente riferito al caso
> indipendente dal tempo manda la probabilit� a zero.

In effetti sono stato un po' troppo drastico a buttare via tutti i
pezzi della somma che viene dalla completezza (oltre ad aver
dimenticato qua e la' la massa m che pongo quindi m=1). Non c'e'
bisogno di buttare via nulla e si puo' tenere tutto esattamente ad ogni
tempo infatti quello che si deve sommare sara' una serie geometrica
(vedi alla fine).
Lo mostro nel caso unidimensionale per semplicita' di notazione, ma con
piu' dim. e' lo stesso.

Credo che siamo tutti d'accordo che l'ampiezza di probabilita' e'
(esendo |n'>=U(t)|n> autofunzione dell'Hamiltoniana... vedi post di
qualche giorno fa)

A(0->1)=c(t) sum_n <1|U(t)|n><n|U^(-1)(t)|0>exp(-iE_n t) (*)

con c(t) c-numero a norma 1 (che viene dallo shift dell'energia) che
nella probabilita non conta perche' e' fuori dalla somma (e' una cosa
tipo l'esponenziale dell'integrale tra zero e t E^2(t)).
Scrivo gli operatori di creazione e di distruzione

a=sqrt(w/2)(q+ip\w) ed a*=sqrt(w/2)(q-ip\w)

per i quali valgono le regole

[a,a]=1 (**)
|n>=1\sqrt(n!)(a*^n)|0>
a|0>=0
U(t) a U(t)^(-1)=a+eE(t)\sqrt(2w^3)
U(t) a* U(t)^(-1)=a*+eE(t)\sqrt(2w^3)

Per calcolare l'ampiezza in (*) servono le quantita' <n|U(t)^(-1)|0> e
<1|U(t)|n> che si calcolano usando le (**) e un po' di combinatorica

<n|U(t)^(-1)|0>=<0|U(t)^(-1)|0> 1 \sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^n

<1|U(t)|n>=<0|U(t)|0> n\sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^(n-1)

con la convenzione che n\sqrt(n!) per n=0 vale -1 (per gli altri valori
il solito!).

Ora che abbiamo i due contributi si nota che

E_n=E_0+wn=E_(n-1)+w

e quindi mettendo tutto insieme si ha la serie geometrica

A(0->1)=c(t) exp(-iE_0 t) eE(t)/sqrt(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
                 -1+sum_n 1/n![(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]^n}

che sommata porta alla soluzione

A(0->1)=c(t) exp(-iE_0 t) eE(t)/(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
                 -1+1/[1-(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]}.

Anche in questo caso quando t->00 A(0->1) va a zero.
Pero' qui non ho fatto nessuna approssimazione e il conto mi sembra
esatto.
Naturalmente errori di conto o concettuali sono sempre in agguato...
L'ampiezza |0>-->|0> e' piu' semplice e quell'addendo -1 nella graffa
non appare.

Saluti.
Received on Mon Jun 19 2006 - 21:58:08 CEST