"unknow" <e_at_ma.il> wrote in message
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> Propongo un esercizio di fisica teorica di cui avrei bisogno di vedere
> lo svolgimento.
> Un oscillatore armonico tridimensionale isotropo si trova a t = 0 nello
> stato fondamentale. Supponendo che la particella sia carica e che sia
> soggetta ad un campo elettrico uniforme
>
> E(t)=Ea exp-((t/tau)^2)
> dove Ea = -E0 cos(teta) ez + E0 sin(teta) ey, calcolare al 1� ordine
> perturbativo la probabilit� di transizione negli stati del 1� livello
> eccitato per t -> + infinito.
> [E(t) ed Ea sono vettori, ez ed ey sono i versori degli assi z e y]
>
> Grazie a chiunque voglia illustrarmi la soluzione.
Il potenziale variabile associato con la perturbazione
� semplicemente ottenuto sostituendo ad ez ed ey
rispettivamente -z e -y il gradiente del potenziale
cambiato di segno � infatti la forza. Non resta
che applicare pedissequamente la formulina, dopo
avere osservato che l'equazione di Schroedinger �
originale � separabile nelle tre direzioni e quindi
si risolve passando per tre problemi unidimensionali
riconosci
che i termini z ed y accoppiano i livelli contigui
dei problemi unidimensionali lungo z e lungo y
rispettivamente. In effetti siccome l'oscillatore
� isotropo puoi anche considerare semplicemente il
problema unidimensionale lungo la direzione a.
P_01(t) = (1/\hbar)^2|\int_0^t exp(-i\om t) exp(-t/tau) <1|Kz|0>|^2
l'integrale da zero ad infinito
� immediato perch� si riconduce semplicemente
ad 1/(-i om-1/tau) e l'elemento di matrice �
il classico K \sqrt(\hbar/(2m om))
sostituisci adesso K = e Ea, sviluppi il modulo quadrato
e trovi:
[1/(2m \hbar om)] ((eEa)^2)/(om^2+tau^2))
che per ragioni che spiegher� fra breve conviene
riscrivere come:
[1/(2m)] x ((eEa)^2)/(om^2+tau^2)) x 1/(\hbar om)
in altre parole la perturbazione ha creato una componente
eccitata non nulla. La cui entit� � fornita essenzialmente
dal rapporto fra due energie:
[1/(2m)] x ((eEa)^2)/(om^2+tau^2))
ed
(\hbar om)
la prima energia somiglia allo spostamento di energia
causato dall'applicazione di un campo elettrico
costante in una data direzione:
[1/(2m)] x ((eEa)^2)/(om^2))
mentre la seconda � l'intervallo di energia fra i
livelli consecutivi dell'oscillatore armonico.
La soluzione potrebbe per� differire, a mio
avviso significativamente
dal risultato che otterremmo considerando tutta
la serie perturbativa ovvero risolvendo non perturbativamente
il problema. Quello che in concreto si verifica potrebbe essere
qualcosa di differente da quello che predice il primo ordine
perturbativo, e questo � un caso differente da quello che si
verifica invece in teoria delle perturbazioni indipendenti dal
tempo. Infatti nella teoria indipendente dal tempo la correzione
al primo ordine sull'energia dello stato fondamentale
sarebbe esatta, mentre sarebbero approssimate le
funzioni d'onda a qualsivoglia livello perturbativo.
In particolare l'effetto non perturbativo
in quel caso � descritto da un operatore di traslazione.
exp( -i eEa/(hbar m om^2) x p)
dove p � l'impulso. Se consideriamo l'espressione di
p in termini degli operatori adimensionali di
salita e discesa ritroviamo:
exp (- [1/(2m)] x ((eEa)^2)/(om^2) x 1/(\hbar om) (a-a+))
nota che l'argomento � un numero adimensionale molto simile
a quello trovato sopra, ma come quello,
pu� benissimo essere un numero maggiore di uno in
modulo, senza che questo comporti alcuna contraddizione
con il fatto di trovare una ampiezza di probabilit�
minore di uno di trovare occupato un qualsiasi livello.
Non lo stesso possiamo dire, in generale, se ci fermiamo
al primo ordine perturbativo.
Una stima della significativit� del calcolo effettuato �
la grandezza di questo numero adimensionale. Quanto pi� questa
probabilit� � vicina a zero (e minore di uno) tanto pi� la stima
� significativa. Questo perch� quello che stiamo trascurando �
questa circostanza:
non appena il campo ha creato una piccola "popolazione" nel
livello 1 (sortisce una piccola ampiezza) subito il campo
stesso inizia a promuoverne una parte nel livello 2 e questa
viceversa ne promuove una parte a ritroso verso il livello
1 ed una parte in avanti verso il livello 3. In breve
tutti i livelli risulteranno in vero popolati, pure se
la progressione delle ampiezze di occupazione sar�
essenzialmente regolata da una progressione geometrica
decrescente.
Chiss� se esiste una soluzione esatta di questo semplice
problema quantistico. Mi stupirei del contrario.
Per completezza ti lascio un esercizio:
dai una stima del campo elettrico nel
caso che per un elettrone con periodo di un pico secondo
si verichi che la probabilit� trovata perturbativamente
� del 10%.
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Received on Sat Jun 17 2006 - 00:25:00 CEST