Max ha scritto:
> Immagino sia la mia, l' idea sbagliata :-)
L'hai detto.
> Cmq, non ho ancora afferrato xche' non e' cosi'.
Beh, a parte i conti che ti faro' piu' avanti, dovresti decidere: o
accetti il principio di relativita' o non l'accetti.
> Nel mio esempio e' possibile, se non ho sbagliato grossolanamente,
> ...
> E se vale tutto questo, deve anche esistere un riferimeno a "tempo
> zero" non rallentato.
Appunto: e non ti sorge il dubbio che l'ipotesi giusta sia la prima?
:-)
> Ci sono 4 personaggi, tutti gemelli : Federico e Franco
> (iniziale F == 'fermi') e Vanni e Vincenzo (V = 'veloci').
> Inizialmente stanno tutti a riposo sulla terra, sarebbe meglio un
> punto 'fisso' in assoluto, posto che esista.
Scusa, ma che vuol dire "posto che esista"?
Se tu vuoi fare la fisica a modo tuo, puoi cavarne le conclusioni che
ti pare. Ma poi dovrai fare i conti col mondo reale...
E dato che i fisici questi conti li hanno fatti da un pezzo, e ti
dicono che la quiete assoluta non e' rivelabile, non capisco il tuo
atteggiamento.
> Occhio, quando parlero' di TEMPI e VELOCITA', saranno sempre da
> considerare dal punto di vista di chi compie l' azione. Questo e'
> importante.
Sui tempi d'accordo.
Sulle velocita' meno, perche' velocita' e' sempre di qualcosa rispetto
a qualcos'altra.
Quindi se Vanni parte e 0.5c, devi intendere *rispetto a che cosa* e'
definita questa velocita'. Piu' precisamente, rispetto a quale
riferimento.
Sara' il rif. terrestre, suppongo.
Anche se e' poi vero (ma tutt'altro che ovvio) che allo stesso modo i
personaggi "fermi" avranno la stessav elocita' rispetto a Vanni.
> ...
> Federico = Franco > Vanni > Vincenzo
>
> Quindi, chi e' partito PER ULTIMO dal secondo riferimento inerziale e'
> PIU' GIOVANE.
Fin qui siamo d'accordo.
> CASO 2 : Federico decide di raggiungere Vanni e Vincenzo.
> ...
> Confrontando le eta', avro' :
>
> Franco > Federico > Vanni = Vincenzo
>
> Ovvero, chi e' partito PER PRIMO dal primo riferimento inerziale e'
> PIU' GIOVANE.
E questo da dove lo ricavi? Invece e' vero il contrario, come ti
dimostrero' piu' avanti.
> Scusa, Elio, ma ti chiederei un piacere.... Potresti quantificarmi il
> mio esempio numericamente ?
Gia', credo proprio che sia necessario (e non solo per te ;-) ).
Anche se il problema non sono certo i numeri, ma i concetti e il
netodo da seguire.
Riformulo il tuo esempio da capo, introducendo alcune notazioni piu'
utili.
A quanto hai detto supponi di avere 4 personaggi.
(Ma potrebbero essere astronavi, e questo non e' poi tanto
fantascientifico, se ci accontentiamo di velocita' un po' minori... Ma
invece le velocita' le terremo alte perche' i numeri vengono piu'
semplici.)
Chiamiamoli P Q R S, perche' a me le tue F e V non piacciono,
proprio per il sottinteso (fermo, veloce...)
Inizialmente sono tutti fermi in uno stesso rif. inerziale K.
A un certo istante R e S partono con velocita' v.
Ecco il primo punto importante: questa partenza e' un *evento*: e'
utile dargli un nome: diciamo A.
L'evento A avra' delle coordinate spazio-temporali in K, e non c'e'
alcuna restrizione se le prendo nulle: A=(0,0).
Poi tu dici: dopo un certo tempo (10 anni dei suoi) R torna indietro,
alla stessa velocita', e si ferma di nuovo accanto a P e Q.
Abbiamo altri due eventi: l'inversione di marcia (B) e il ritorno C.
Bisognera' calcolarne lo coordinate...
Ma prima concludiamo il caso 1: dopo altri 10 anni anche S torna
indietro con R. Due altri eventi: D ed E.
Vediamo come si calcolano le coordinate di B.
Fammi indicare con tau l'intervallo di 10 anni: questo e' il tempo
trascorso tra i due eventi A e B nel rif. di R: la regola generale che
ti ho detta da' subito il tempo tra questi stessi eventi nel rif. K.
Dovrai moltiplicare tau per il solito 1/sqrt(1-v^2/c^2), che e' una
scocciatura, a meno che non scegliamo per v un valore comodo, per es.
0.6c. Dalla terna pitagorica 3,4,5 si trova subito che il fattore di
dilatazione e' 5/4, e quindi il tempo *fra gli eventi A e B*, misurato
in K, e' 12.5 anni.
Lo spazio percorso da R in questo tempo, sempre misurato in K, lo
ottieni moltiplicando per v, e trovi 7.5 anni-luce.
Dunque le coordinate (x,t) dell'evento B sono (7.5, 12.5) dove le unita' le
ho dette.
A questo punto un suggerinento che e' quasi un ordine :) nel senso che
se vuoi capire qualche cosa non puoi farne a meno:
fai un diagramma cartesiano, mettendo x in ascissa, t, in ordinata, e
rappresentando tutti questi eventi.
Passiamo all'evento C. Dato che consiste nel ritorno al punto di
partenza, la sua x e' chiaramente 0. Quanto alla t, basta la
simmetria: dato che R ha invertito la velocita', l'intervallo fra B e
C sara' uguale a quello fra A e B.
Quindi le coordinate di C sono (0, 25).
Da cui si vede che col suo viaggetto R ha guadagnato 5 anni di vita...
Ora dovremmo passare a S, ma credo che non ci sia bisogno di rifare i
calcoli: le coordinate dell'evento D sono doppie di quelle di B, ossia
(15, 25).
Per la stessa ragione, quelle di E sono (0, 50).
Chiaramente S ha guadagnato 10 anni, e questo conferma la tua
conclusione.
Ora passiamo al caso 2.
Qui R e S non tornano indietro, ma sono raggiunti da P e Q.
Supponiamo che P parta dopo 10 anni, e Q dopo 20 anni.
Abbiamo due eventi partenza: F (partenza di P) e G (partenza di Q).
Le loro coordinate sono ovvie: (0, 10), (0, 20).
Poi P raggiunge R e S (evento H), e infine anche Q si unisce agli
altri 3 (evento I).
Dobbiamo calcolare le coordinate di questi altri eventi, e questo e' un
po' meno semplice, ma sempre elementare...
Sia w la velocita' di P e di Q: P parte con ritardo tau rispetto a R,
e si vuol sapere dopo quanto tempo lo raggiunge (tempo di K, sempre).
Questo conto non lo faccio, perche' la relativita' non c'entra proprio
niente: il risultato e' tau*w/(w-v) e lo spazio percorso e'
tau*v*w/(w-v).
Se per es. prendiamo w = 0.8c, risulta tempo = 40 anni, spazio = 24
anni-luce. Dunque H = (24, 40).
Quanto a I, e' ovvio che le sue coordinate sono doppie di quelle di H:
I = (48, 80).
Ora bisogna calcolare le eta' di P, Q, R, S in corrispondenza degli
eventi H e I.
Per R e S e' facile: dato che i due eventi avvengono nello stesso
luogo di A nel loro riferimento, si dovra' usare il fattore di
dilatazione all'inverso, ossia *dividere* per 5/4.
Risultato: all'evento H per R e S sono passati 32 anni.
Per l'evento I sara' il doppio: 64 anni.
Quanto a P e Q c'e' invece da considerare che la loro vita consiste
di piu' fasi.
Prendiamo P: tra gli eventi A e F sta fermo in K, e per lui passano 10
anni. Tra gli eventi F e H si muove a velocita' w.
Nel rif. K tra questi eventi intercorrono 30 anni, ma nel rif. in cui
e' fermo P c'e' di nuovo da dividere per il fattore di dilatazione
corrispondente alla velocita' w, che vale 5/3.
Si ottiene 18 anni, che sommati ai primi 10 danno 28 anni: di tanto
e' invecchiato P tra gli eventi A e H.
Ma dobbiamo ancora considerare l'intervallo tra H e I, nel quale P
invecchia come R e S, ossia 32 anni. Il totale fa dunque 60 anni.
Ripeto: la "vita" di P consiste di tre fasi: AF, FH, HI le cui durate
nel tempo "proprio" di P sono risp. 10, 18, 32 anni.
Per la vita di Q le cose sono piu' semplici, perche' debbo considerare
due sole fasi: AG e GI, che sono risp. doppie delle fasi AF e FH
relative a P. Abbiamo percio' 20 + 36 = 56 anni.
Conclusione: tra gli eventi A e I le vite (tempi propri) trascorse per
i nostri magnifici 4 sono:
P: 60 anni
Q: 56 anni
R e S: 64 anni.
Come dovevasi dimostrare.
Nota1: Se ora ti domandi come mai le differenze fra i due casi 1 e 2 non
sono
simmetriche, per ora non te lo dico.
Pensateci un po'...
Nota 2: IL calcolo dei tempi propri, note le coordinate di tutti gli
eventi, si poteva fare anche in un altro modo: usando la metrica di
Minkowski.
Ma per oggi ho scritto abbastanza.
--
Elio Fabri
Received on Sun May 21 2006 - 21:28:00 CEST