Il 05 Mar 2006, 20:18, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Tetis ha scritto:
> > ...
> > Per la luce invece non posso basarmi sul tempo proprio perche' la
> > lagrangiana si annulla per definizione, quindi ritrovo solo un vincolo
> > fra r e t. Qui emerge la difficolta' che dicevo: dal fatto che L=0
> > trovo che:
> >
> > (t')^2 = [r'/(1-1/r)]^2.
> >
> > che integro separatamente fra la zona interna ed esterna.
> > Non posso fare altrimenti perche' si annulla il denominatore a secondo
> > membro.
> > Domanda: come si accordano queste due soluzioni?
> > Ovvero se la luce parte al tempo t = 0 da r0>1 quando arriva in r<1?
> "Quando"? Brutta domanda... ;-)
>
> Osserva che per queste geodetiche r e' un parametro affine (segno a
> parte, se vuoi).
> Quindi puoi assumere che r sia monotona decrescente lungo la geodetica.
>
> Accanto all'eq. che hai scritta c'e' la conservazione del momento
> coniugato a t, che ti da'
>
> t' = r/(r-1). (*)
>
> Mi obietterai che non e' lecito assumere la stessa equazione dentro e
> fuori: potrebbe cambiare il segno.
> Hai ragione, ma possiamo cavarcela osservando il grafico nel piano
> (u,v) di Kruskal, dove si vede che t' ha proprio il segno di r-1.
> Percio' puoi integrare la (*) e trovi
>
> t = r + ln|r-1| + cost.
Un poco laboriosamente mi sono spinto oltre ed anziche' limitarmi
a guardare il grafico nel piano di Kruskal per stabilire il segno, ho
sfruttato
la semplicita' dell'integrazione per le geodetiche luce in coordinate
di Kruskal. Ho ottenuto qualcosa che somiglia a quello che dicevi tornando
poi alle coordinate di Schwartzschild:
eccetto per un segno che quindi comporta che t aumenta al diminuire
di r, come deve essere. L'aspetto laborioso e' legato al fatto di dovere
stare a smanettare con il cambio di definizione della mappa fra
dentro e fuori. Ma alla fine si trova un'espressione sola che vale
dentro e fuori. E poi ancora un fattore due a denominatore
che invece non deve essere, ma suppongo che derivi dal fatto che
c'e' una certa arbitrarieta' nella definizione delle unita', in modo che
io ho risolto in effetti t/2. Quindi ok. Le coodinate di Kruskal danno una
buona parametrizzazione per le geodetiche luce. Non ho la stessa fortuna
con le geodetiche massiva, come mi sono sforzato di spiegare. Un amico
mi ha pero' suggerito di studiare questo problema in coordinate di
Eddington,
siccome non le conoscevo, ier sera mi sono documentato ed ho trovato che
queste hanno la magia che occorre per risolvere le geodetiche massive.
In queste coordinate il campo e' non singolare. Si dimostra facilmente che
una delle possibili determinazioni di u' ottenute dalla lagrangiana e' non
singolare. Quello che allora ho pensato e' che forse c'e' un qualche
modo per fare stare tutte le cose interessanti, quindi sia geodetiche luce
e geodetiche massive in un pezzetto di carta. Qualcosa di analogo
ad una trasformazione omografica per la sfera di Riemann. Quello che
avevo pensato, certamente non da solo, ma stimolato dalle discussioni
con amici e' di partire dalle coordinate di Kruskal, e considerare
una loro combinazione lineare, e' un trucco bieco che mi ha aiutato
piu' volte nel caso delle equazioni di Lorentz, chissa' che non serva
anche qui, cioe' considero u+v ed u-v. La metrica "quasi" si fattorizza,
eccetto
per il fattore k(r) che continua a dipendere da entrambe le variabili,
se ora voglio che le geodetiche di tipo massivo stiano nel piano posso
cercare
di "tirare la lenza". Cioe' avrei pensato ad una trasformazione di
coordinate in
cui la coordinata u+v viene opportunamente accorciata, ci sono infiniti modi
per
fare cio', si tratta di trovare un modo che aderisca a qualche proprieta'
naturale
del sistema, suggerimenti? Ho trovato intanto un articolo
che descrive le coordinate di Newmann Penrose, sono certo che hanno qualcosa
a che vedere con questo procedimento, visto l'uso che Penrose fa di
diagrammi
compatti per rappresentare tutto lo spazio tempo e della sua insistenza,
anche in
divulgazione, sulla sfera di Riemann. Intanto mi sono un poco arenato
nell'integrazione delle equazioni in metrica di Eddington.
Trovo queste due equazioni:
K^2 = (r')^2 + (1 -1/r)
u' = [ -sqrt( K^2 - (1-1/r)) + K ]/(1-1/r)
Si vede presto che nonostante l'apparenza singolare, la
seconda equazione e' regolare in r=1, basta uno sviluppo in
Taylor della radice. Suggerimenti per l'integrazione?
> --
> Elio Fabri
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Mon Mar 13 2006 - 13:54:34 CET