"Pangloss" <marco.kpro_at_tin.it> wrote in message
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> IMHO stai sottovalutando il problema.
> Sviluppando la teoria del pendolo di Foucault con lo schema classico di
> calcolo da te citato si trova che in un riferimento rotante (rispetto al
> laboratorio) con velocita' angolare omega*cos(colat) le traiettorie
> sono effettivamente ellissi aventi semiassi dipendenti dalle condizioni
> iniziali di lancio del pendolo.
Io non ho capito esattamente quale schema di calcolo
abbia in mente Daniel, se si tratta della classica
approssimazione oscillatore armonico + forza di Coriolis
sono d'accordo con te. Si vede bene nel riferimento
rotante che non residuano contributi della forza di
Coriolis lungo il piano.
> In particolare, se il pendolo viene liberato con velocita' iniziale
> nulla rispetto al laboratorio (metodo del filo bruciato) il rapporto
> fra i semiassi vale b/a=omega*cos(colat)*sqrt(l/g), ossia ha un ordine
> di grandezza di 10^(-4) o di 10^(-5): lo schiacciamento e' cosi' forte
> da fare apparire la traiettoria rettilinea.
> Il fenomeno da me osservato e' ben diverso; nel mio maxi-pendolo libero
> (smorzato) b/a cresceva con il tempo e tipicamente dopo mezz'ora era
> dell'ordine di 10^(-2). Tale moto ellittico (sempre retrogrado!) non e'
> previsto dalla teoria (almeno al livello di precisione al quale sono
> riuscito ad arrivare) e non si trova citato su alcuna pubblicazione di
> mia conoscenza.
Per me continua a restare un mistero. Come ho scritto in
un altro e-mail ho impostato la valutazione del contributo
dato dalle componenti verticali della forza di Coriolis
al momento angolare. Quello che trovo e' che risulta
da integrare la funzione:
K cos(\theta(t))sin(\theta(t)) theta'(t) dt.
dove assumiamo che:
\theta(t) = A cos(\omega t) exp(-\alfa t).
questa e' un'approssimazione della soluzione,
tuttavia se guardi l'integrale che stima la
variazione del momento angolare vedi che
questo integrale si riduce ad una grandezza che
dipende solo dalla variazione assoluta dell'angolo
infatti il contributo al momento angolare risulta:
K cos(\theta)sin(\theta) d\theta
che quindi non dipende dalla specificita'
della dinamica. Pertanto l'unico contributo
al momento angolare deriva dal fatto che
dal momento del rilascio al momento in cui
viene completata la prima oscillazione il
pendolo non torna alla posizione iniziale.
E questo porta ad una variazione di momento:
K [cos(\theta)sen(theta)]' \delta_\theta
Mentre K ha un valore massimo pari a:
K_max = 2 \Omega_T cos(\lambda) L^2
dove \lambda e' la latitudine ed L e'
la lunghezza del pendolo, mentre \Omega_T
e' la velocita' angolare del pendolo.
Se uso i 39 metri del pendolo in questione
trovo K_max = .15 m^2/s e la variazione di
momento angolare specifico al tempo zero
risulta M_max = .15 x \delta_\theta.
Se assumiamo che in una oscillazione il pendolo
perda una frazione dell'un per mille di energia
avremmo \delta_\theta = 1/1000 \Theta_max
poniamo quindi un millesimo di radiante,
(visto che forse ho sottostimato la dissipazione
sopravvaluto l'angolo di oscillazione) dunque
circa .00015 m^2/s. Se dividiamo per la velocita'
del pendolo nel punto piu' basso otteniamo l'ampiezza
dell'escursione laterale e ponendo una velocita' di
circa 1 m/s l'escursione laterale e' di 2 decimi
di millimetro. Ma il segno del momento angolare
dipenderebbe dalla direzione iniziale del pendolo
se a Nord il contributo e' destrogiro, se a sud
e' levogiro.
Ora tutto quello che ho detto fin qui sarebbe
rigorosamente vero se K fosse davvero costante
e se non esistesse una lieve eccentricita'
dell'orbita. Volendo continuare a trascurare
l'effetto dell'eccentricita' possiamo tuttavia
cercare di considerare l'effetto della variazione
di K.
Dato K varia nel tempo e varia come
K_max Cos(\Omega_T Sin(\lambda) t)
essendo la componente della velocita' angolare
nella direzione del moto del pendolo, che come
ricordiamo sta ruotando. Quale sara' allora
l'effetto di questa rotazione? Forse esiste
un modo piu' corretto considerando qualche
invariante adiabatico, tuttavia provo a fare la
stima in questo modo: considero che K(t) e'
costante in una oscillazione e valuto il contributo
al momento angolare specifico in termini di
Int K(t(\theta)) cos(\theta)sin(\theta) d\theta
su un quarto di oscillazione. Trovo:
circa K (1-cos^2(\Theta_max)/2)
ora faccio variare t di un quarto di periodo
ossia: \tau = T/4
e per ogni quarto di periodo considero la
variazione di K come se avvenisse all'inizio
del quarto di oscillazione. Per ogni oscillazione
trovo un contributo al momento angolare specifico
pari a:
[+K(t)cos^2(\Theta) - K(t+\tau)cos^2(\Theta)] +
-K(t+2\tau) cos^2(k \Theta) + K(t+3\tau) cos^2(k \Theta)]/2 =
= K' \tau [cos^2(\theta) - cos^2(k \theta)]/2
dove k e' il fattore di attenuazione fra un
una emi-oscillazione e la successiva, e la
convenzione adottata e' quella di considerare
positivi i momenti angolari specifici destro-giri
Ovvero circa:
- (1/2) K' \tau [\delta_\theta]^2
-(1/2) K_max sen(alfa_o + \Omega_T t) \Omega_T \tau [\delta_\theta]^2
siccome K sta diminuendo questo comporta un
K' negativo ovvero un momento netto destro-giro
di ampiezza circa 1 e (-8) per ogni oscillazione.
In 3600 oscillazioni la situazione non mi sembra
che migliori di tanto rimanendo dell'ordine di
3.6 e -5. Cioe' a dire che la deriva laterale e'
di un centesimo di millimetro.
Con tutto questo pero' abbiamo imparato che se
consideriamo la singola oscillazione la deriva
rispetto alla retta in rotazione, pure se dovrebbe
rimanere trascurabile alla fine dell'oscillazione,
tuttavia dovrebbe essere apprezzabile durante
le singole oscillazioni. Se ora consideriamo
l'otto formato dall'oscillazione in direzione del
polo nord quello che risulta e' che la parte a Nord
dell'otto viene percorsa in senso antiorario. E quella
a Sud in senso orario. E questa oscillazione laterale
e' leggermente piu' ampia rispetto alla rotazione.
millimetri rispetto a centesimi di millimetro.
Ora questo significherebbe che se questo fosse
l'effetto responsabile dell'osservazione che
facevo, l'altare di S.Petronio sarebbe
orientato a Nord. Mentre pensando al sole a tarda
ora ho l'impressione che sia la facciata ad essere
orientata a Nord. Del resto dubito molto che sia questo
il motivo, visto il fatto che alla quarta oscillazione
il pendolo ha urtato ed abbattuto il birillo in fase
ascendente, mentre nelle tre oscillazioni precedenti
lo aveva toccato solo in fase discendente.
Dark matter. Help me.
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Received on Fri Oct 14 2005 - 21:42:12 CEST