Re: del rapporto tra matematica e Natura (Fisica ma non solo) - era Termodinamica

From: MM <mm_at_casewestern.org>
Date: Tue, 10 Sep 2019 15:50:05 +0000 (UTC)

On Tue, 10 Sep 2019 17:14:42 +0200, Soviet_Mario wrote:


>>
>> Ma la curvatura gaussiana di una superficie (che e' anche "intrinseca"
>> ovvero rivelabile muovendosi solo sulla sup.) e' il prodotto delle due
>> curvature principali: la massima e la minima.
>
> questo ulteriore aspetto mi sfugge ancor di più : perché proprio solo la
> massima e la minima ? C'è qualche teorema che dice che "la media"
> dipenda da queste due prescindendo dalla funzione generatrice ?


Quella e' per definizione la curvatura di Gauss, prodotto degli
autovalori dello shape operator. Nel suo theorema egregium Gauss mostro'
che la curvatura definita a questo modo e' un invariante intrinseco della
superficie: puoi piegarla (senza pero' stirarla) e la curvatura resta
uguale.
Esiste poi la curvatura totale, cioe' la curvatura di Gauss integrata su
tutta la superficie. Insomma una sua media sulla superficie, che grazie
al teorema di Gauss-Bonnet ci fornisce il "numero di manici": ad esempio
il toro ha un manico, la sfera no.


Tornando alle tue domande, la curvatura di Gauss e' il prodotto di due
autovalori, K = k1*k2.

Se K=0 e costante su tutta la superficie, allora puoi svilupparla su un
piano ed hai quindi la geometria euclidea. Ad esempio un cilindro: hai
una circonferenza in una direzione, una retta nell'altro, dunque K=0.

Se K>0 e csotante, hai una sfera: geometria sferica.

Esempio. Un toro non ha curvatura costante. Se lo parametrizzi con

x(u,v) =(c+a cos v) cos u
y(u,v) = (c +a cos v) sin u
z(u,v) = a sin v

l'elemento di linea lo ottieni come:
ds^2 = (c +a cos v)^2 du^2 + a^2 dv^2

e dal tensonre metrico ottieni dopo paziente algebra la curvatura scalare
R (tensore di Ricci)

R = 2 cos v/(a( c +a cos v))

che e' il doppio della curvatura gaussiana. Come vedi non e' costante,
all'interno del toro e' negativa, all'esterno positiva, in cima e sotto
zero.

Se K<0 e costante, hai una pseudosfera con geometria iperbolica o
Lobachevski.

In fisica, RR: per K rispettivamente 0, positivo e negativo sono gli
spazi di Minkowski, de Sitter ed anti de Sitter.
Received on Tue Sep 10 2019 - 17:50:05 CEST