Il 10/09/19 17:50, MM ha scritto:
> On Tue, 10 Sep 2019 17:14:42 +0200, Soviet_Mario wrote:
>
>
>>>
>>> Ma la curvatura gaussiana di una superficie (che e' anche "intrinseca"
>>> ovvero rivelabile muovendosi solo sulla sup.) e' il prodotto delle due
>>> curvature principali: la massima e la minima.
>>
>> questo ulteriore aspetto mi sfugge ancor di più : perché proprio solo la
>> massima e la minima ? C'è qualche teorema che dice che "la media"
>> dipenda da queste due prescindendo dalla funzione generatrice ?
>
>
> Quella e' per definizione la curvatura di Gauss, prodotto degli
> autovalori dello shape operator.
ecco, mi infrango già alla seconda riga sull'operatore
"forma" :\ :\
> Nel suo theorema egregium Gauss mostro'
> che la curvatura definita a questo modo e' un invariante intrinseco della
> superficie: puoi piegarla (senza pero' stirarla) e la curvatura resta
> uguale.
minchia ... Gauss ... come si fa a intuire una cosa così
poco intuitiva :\
> Esiste poi la curvatura totale, cioe' la curvatura di Gauss integrata su
> tutta la superficie.
questo è un concetto più facile da capire (come sia utile
già meno)
> Insomma una sua media sulla superficie, che grazie
> al teorema di Gauss-Bonnet ci fornisce il "numero di manici": ad esempio
> il toro ha un manico, la sfera no.
immagino che sia uno scherzo che giocano i "segni" della
curvatura intesa in senso vettoriale dentro/fuori ...
>
>
> Tornando alle tue domande, la curvatura di Gauss e' il prodotto di due
> autovalori, K = k1*k2.
>
> Se K=0 e costante su tutta la superficie, allora puoi svilupparla su un
> piano ed hai quindi la geometria euclidea. Ad esempio un cilindro: hai
> una circonferenza in una direzione, una retta nell'altro, dunque K=0.
>
> Se K>0 e csotante, hai una sfera: geometria sferica.
curiosità : ha una forma una curvatura K<0 costante ? O è
solo una sfera col fuori dentro e viceversa ?
>
> Esempio. Un toro non ha curvatura costante.
lungo le sezioni longitudinali, giusto ?
Perché in quelle radiali sembrano tutti cerchi ...
> Se lo parametrizzi con
>
> x(u,v) =(c+a cos v) cos u
> y(u,v) = (c +a cos v) sin u
> z(u,v) = a sin v
>
> l'elemento di linea lo ottieni come:
> ds^2 = (c +a cos v)^2 du^2 + a^2 dv^2
>
> e dal tensonre metrico ottieni dopo paziente algebra la curvatura scalare
> R (tensore di Ricci)
purtroppo non ho installato il pacchetto "tensori" :\
>
> R = 2 cos v/(a( c +a cos v))
>
> che e' il doppio della curvatura gaussiana. Come vedi non e' costante,
> all'interno del toro e' negativa, all'esterno positiva, in cima e sotto
> zero.
>
> Se K<0 e costante, hai una pseudosfera con geometria iperbolica o
> Lobachevski.
ah ... mi avevi già risposto LOL. Voglio vedere se su wiki
ci sta una immagine di 'sta roba :)
grazie
>
> In fisica, RR: per K rispettivamente 0, positivo e negativo sono gli
> spazi di Minkowski, de Sitter ed anti de Sitter.
>
--
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)
Received on Tue Sep 10 2019 - 22:11:56 CEST