Il giorno martedì 10 settembre 2019 17:18:02 UTC+2, Soviet_Mario ha scritto:
> Il 10/09/19 15:51, Wakinian Tanka ha scritto:
> > ...
> poffarbacco !!! non avendo mai usato raggi di curvatura in
> 3D la mia testa ha fatto un'operazione inconscia di questo
> tipo : è un solido di rotazione, quindi la curvatura nel
> piano delle quote è irrilevante, mentre varia
> perpendicolarmente ad esso.
>
Eh, ma tu hai fatto chimica, mica fisica :-)
A fisica la geometria 3D si studia di piu' :-)
>
> Se sto capendo giusto, invece, mi dici che conta anche il
> raggio di curvatura parallelo al pavimento, giusto ?
>
Se per "pavimento" intendi il piano ortogonale all'asse della pseudosfera e passante per il centro di essa, si, o meglio conta la curvatura rispetto a *qualsiasi* piano passante per il punto considerato. A occhio, i due piani che hai descritto, ovvero quello parallelo al "pavimento" e uno ortogonale al primo, ovvero uno che passa per l'asse della pseudosfera, individuano (tagliando la pseudosfera) proprio la massima e la minima curvatura (ma il piano parallelo al pavim. non individua sempre quella max o sempre quella min. e lo stesso per l'altro piano: a seconda dal punto preso i loro ruoli si invertono) ma non ne sono sicuro.
>
> O in altre parole che una superficie solida NON ha nessun
> raggio di curvatura intrinseco (non ci avevo mai pensato)
>
Piu' che "superficie solida" direi "superficie" e basta (cos'e' una superficie solida?) o meglio ancora "varieta' bidimensionale immersa nello spazio 3D". E' ovvio che non puo' averne *uno solo*, mica ci sono direzioni privilegiate da prendere. Che sappia io non sono ancora state create "religioni sulle varieta' bidimensionali in 3D" :-))
>
> ma come per le tangenti e le derivate parziali, può avere sfere
> tangenti lungo una direzione e (secanti altrove) ... capito
> giusto ?
>
Piu' che di "sfere tangenti" parlerei di "sfere osculatrici" come naturale generalizzazione del cerchio osculatore, ma penso che il concetto che intendevi e' quello. Si, infatti soltanto una superficie che localmente e' sferica ha una sfera osculatrice; una superficie che non lo e' (cilindro, sella, ecc) non ne ammette; come la cornea di chi e' astigmatico, ha differenti curvature nello stesso punto.
>
> > Ma la curvatura gaussiana di una superficie (che e' anche "intrinseca" ovvero
> > rivelabile muovendosi solo sulla sup.) e' il prodotto delle due curvature principali:
> > la massima e la minima.
>
> questo ulteriore aspetto mi sfugge ancor di più : perché
> proprio solo la massima e la minima ? C'è qualche teorema
> che dice che "la media" dipenda da queste due prescindendo
> dalla funzione generatrice ?
>
Hai fatto bene a chiamarla "media" tra virgolette: esistono altri tipi di curvature ed una di queste si chiama "media" e non e' quella gaussiana :-)
Come ti avevo gia' accennato e ti ha "espanso" MM, ci sono dei motivi molto importanti per preferire in molti casi la curvatura definita in quel modo, uno e' appunto il fatto che quella curvatura e' "intrinseca": non dipende da come e' immersa in altri spazi e quindi e' (che fortuna!) misurabile rimanendo sempre e solo sulla superficie. Fisicamente e' importante perche' e' la curvatura dello spaziotempo che viene data dalla massa (ed energia, ecc). Insomma, per far prima, la potresti chiamare "la vera" curvatura di una superficie fisica (ecco perche' ho scritto "per fortuna": possiamo determinare la curvatura dello spaziotempo 4D rimanendo nel nostro spazio 3D!)
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Curvatura
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Curvatura_principale
https://it.m.wikipedia.org/wiki/Curvatura_gaussiana
...
>
> ora che me lo fai notare, mi rimembro di certe funzioni
> iperboliche che avevano i punti di sella, dove addirittura
> nello stesso punto c'erano due curvature di segno opposto
>
E' quello che ti stavo dicendo della sella e della pseudosfera: le 2 curvature principali hanno sempre (cioe' in tutti i punti) segno opposto e quindi la curvatura della superficie e' *sempre negativa*.
>
> ad ogni modo, il fatto di avere curvature distinte in
> direzioni spaziali diverse nell'intorno, è ben lungi dal
> convincermi dell'isotropia/omogeneità dello spazio. Anzi, mi
> pare ancora meno simmetrico.
>
Un momento, non rimescolare le carte!
Tu avevi chiesto come puo' uno spazio curvo essere isotropo e Fabri ti ha fatto l'esempio della sfera.
Poi hai scritto:
<<una sfera si, ma ha il raggio di curvatura costante in ogni
punto. Praticamente per qualsiasi altra superficie questa
curvatura sarebbe diversa >>
>
Ma questa e' /un'altra/ domanda!
Alla quale El Filibustero ti ha risposto con l'esempio della pseudosfera: anche questa superficie *ha curvatura costante*.
Ma questo non c'entra nulla con l'altra questione, dell'isotropia e omogeneita' dello spazio! La pseudosfera non e' isotropa, ma *per quanto riguarda la curvatura gaussiana* e' omogenea.
Omogeneita': la proprieta' considerata non varia al variare del punto.
Isotropia: la proprieta' considerata non varia al variare /della direzione/ fissato il punto.
--
Wakinian Tanka
Received on Tue Sep 10 2019 - 22:44:55 CEST