JTS ha scritto:
> Non ho capito la mancanza di transitivita', puoi spiegare piu' in
> dettaglio?
Spero non ti abbia confuso la parola.
"Transitivo in questo contesto ha tutt'altro significato di quando si
parla di "relazione transitiva".
Non è colpa mia :-)
Riprendo la mia frase:
> Meglio un esempio privo di singolarità, per es. un ellissoide.
> Si tratta di una perfetta varietà 2D riemanniana.
> Però i punti non sono tutti "uguali", perché la curvatura varia.
> Anche se prendi un ellissoide di rotazione, non esiste alcuna
> isometria che mandi un polo in un punto dell'equatore.
> Solo le rotazioni intorno all'asse sono isometrie, ma non agiscono
> transitivamente.
Quello che ho usato è il linguaggio matematico.
Un fisico direbbe che stiamo studiando le simmetrie dell'ellissoide di
rotazione.
Queste sono varie:
1) le rotazioni di qualsiasi angolo attorno all'asse "di simmetria".
2) le rotazioni di 180° attorno a qualsiasi retta nel piano
equatoriale.
E queste sono le simmetrie "proprie", ossia che conservano
l'orientamento. Però non c'è motivo di escludere quelle improprie, e
allora dobbiamo aggiungere
3) Le riflessioni su qualsiasi piano passante per l'asse.
4) La riflessione sul piano equatoriale.
Il punto è che nessuna di queste simmetrie manda per es. un polo in un
punto dell'equatore.
Più in generale, se prendi un punto generico della superficie, usando
*tutte* le simmetrie del gruppo otterrai solo i punti del parallelo
che passa per quel punto e quelli del parallelo simmetrico di quello
rispetto all'equatore.
Il matematico dirà che il gruppo delle isometrie dell'ellissoide di
rotazione ha come orbite queste coppie di paralleli (cme casi
particolari, la coppia dei poli e l'equatore.
Avrebbe detto (il matematico) che il gruppo agisce transitivamente se
ci fosse una sola orbita, includente tutta la superficie.
Ossia se comunque scelti due punti P e Q esiste un'isometria che manda
P in Q.
Cosa che succede per la sfera.
Domanda per WT: succede anche per la pseudosfera?
Ovvero: com'è fatto il gruppo delle isometrie di una pseudosfera?
Attenzione: sotto c'è una questione profonda di cui parlerò in altro
post.
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Elio Fabri
Received on Wed Sep 11 2019 - 20:53:24 CEST