Re: Luogo geometrico particolare

From: Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it>
Date: Tue, 13 Dec 2011 21:55:32 +0100

Soviet_Mario ha scritto:
> Chiederei lumi se esista un luogo geometrico le cui
> caratteristiche non so se sapr� descrivere bene, per cui
> parto dall'esempio concreto prima di cercare di astrarre
> (Cos� magari mi capirete lo stesso).
> ...
Ho trovato molto divertente questo post: fra poco vedrai perche' :-)

> Servirebbe allora una superficie (parliamo pure in 2D
> inizialmente) dotata di DUE fuochi, tale che collocando in
> uno dei due la lampada e nell'altro il crogiolo, tutti i
> raggi emessi dalla lampada vengano deviati dallo specchio
> sul crogiolo.
> ...
> Conosco un unico luogo geometrico con due fuochi, l'ellissi,
> ma � definito in modo diverso (in termini di distanze e non
> di angoli rispetto alla perpendicolare), quindi scommetto
> che non sia lui la curva cercata.
Scommessa perduta: perche' mai si chiamerebbero "fuochi"?
La curva che cerchi e' proprio l'ellisse (in 3D sarebbe un ellissoide
di rotazione).

> Dopodich�, ho tentato di imbastire matematicamente,
> ...
> Ma mi perdo nel caos.
In realta' questa proprieta' "focale" dell'ellisse era nota ai Greci,
che non conoscevano il calcolo differenziale.
Eccoti la dimostrazione.

Siano F, F' i due fuochi, P un punto qualunque della curva.
Sappiamo che PF + PF' e' costante (e uguale all'asse maggiore).
Prolunga il segmento FP dalla parte di P, di un tratto lungo come PF':
otterrai un punto Q. Il triangolo PQF' e' isoscele per costruzione.
Disegna l'altezza (mediana e bisettrice) in P: dico che questa retta t
e' tangente all'ellisse.
Preso infatti un punto P' di t, distinto da P, abbiamo P'F + P'F' P'F + P'Q > FQ.
Dunque nessun punto di t (diverso da P) sta sull'ellisse, e questa e'
appunto la proprieta' che caratterizza la tangente in P.

Corollario: la perpendicolare a t in P biseca l'angolo FPF' (legge
della riflessione).
                

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Elio Fabri
Received on Tue Dec 13 2011 - 21:55:32 CET