Re: Angolo di rifrazione straordinario

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Sun, 04 Dec 2011 17:38:44 +0100

Sembra che Sam_X abbia detto :
> "Sam_X" <qwerty_at_abc.com> ha scritto:
>
>>> sapresti trasformare una formula nell'altra?
>>
>> No XD (anche se non ho fatto molte prove...)
>> Pero' credo che forse c'entri il considerare i due casi e>o oppure o>e in
>> modo da far scomparire il valore assoluto.
>
> Comunque ci sono riuscito ed e' semplice.
> Il "trucco" sta proprio nell'eliminare il valore assoluto presente sotto la
> radice (nella "tua" formula), considerando pero' il caso in cui o>e. I
> passaggi dopo sono banali ma nel caso li posto. Viene fuori la "mia" formula
> ma con il - davanti alla radice (evidentemente hai considerato l'angolo di
> incidenza "muovendoti" partendo dalla verticale all'interfaccia verso destra,
> mentre io immagino sempre di muovermi verso sinistra). Spero di essere stato
> chiaro...


Per nulla, temo che tu stia ragionando su un'altra equivalenza, anche
perché c'era un'inesattezza nella copiatura della "mia" formula.

Nell'espressione a cui facevo riferimento il radicale sta a numeratore.
La convenzione che ho adottato, inoltre è la stessa che dici di avere
utilizzato tu, quindi la formula "mia" con il segno - equivale, per
o>e, alla formula "tua" con il segno +. Ricopio le due formule esatte
sperando di rendere più chiare le differenze formali e come in realtà
queste espressioni siano identiche nel caso o > e:


Formula con radicale a denominatore:

tan(r) = { [ |e^2 - o^2|*sin(2a) + 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin^2(i) +
e^2*cos^2(a)/sin^2(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a)) ]
}^-1

formula con radicale a numeratore.

tan(r) = (|o^2-e^2| sen(2a) - 2 sqrt[ ( e^2+o^2 - |o^2-e^2|
cos(2a))/sen^2(i) - e^2 o^2])/(2(e^2 sen^2(a) + o^2
cos^2(a)-1/sin^2(i))

Nel caso o > e le due formule diventano:

formula "tua" con radicale a denominatore:

tan(r) = { [ (o^2 - e^2)*sin(2a) + 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin^2(i) +
e^2*cos^2(a)/sin^2(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a)) ]
}^-1

formula "mia" con radicale a numeratore:

tan(r) = { [ (o^2 - e^2)*sin(2a) - 2*sqrt(o^2*sin^2(a)/sin^2(i) +
e^2*cos^2(a)/sin^2(i) - o^2*e^2) ] / [ 2(o^2*cos^2(a) + e^2*sin^2(a)) -
1/Sin^2(i)] }

Queste due espressioni si riconducono una all'altra per mezzo di una
razionalizzazione, e della semplice algebra, i passaggi (li ho
finalmente verificati poco fa) sono elementari sebbene non proprio
banali, ma certamente alla tua portata. L'unica parte "tricky", che mi
ha richiesto in precedenza qualche sforzo ed un poco di tempo, ma oggi
ce l'avevo già pronta per la verifica, è quella di notare l'identità:

(e^2 cos^2(a) + o^2 sin^2(a))(o^2 cos^2(a) + e^2 sin^2(a))=(eo)^2 +
((e^2+o^2)/2)^2 sen^2(2a)

Una formula esatta piuttosto semplice è questa:

tan(r) = { [ (o^2 - e^2)*sin(2a) - (2/Sin(i))*sqrt(o^2*sin^2(a) +
e^2*cos^2(a) - o^2*e^2 sin^2(a)) ] / [ 2(o^2*cos^2(a) + e^2*sin^2(a)) -
1/Sin^2(i)] }

valida certamente per ogni valore di i compreso fra i due angoli di
riflessione totale. Che può essere ottenuta o risolvendo l'equazione di
Snell:

sin(i) = t / sqrt[e^2 (cos(a)+ sin(a) t)^2 + o^2(sin(a)-cos(a)t)^2]

dopo quadratura di:

t/sin(i) = sqrt[e^2 (cos(a)+ sin(a) t)^2 + o^2(sin(a)-cos(a)t)^2]

ovvero razionalizzando l'espressione ottenuta per 1/t = x risolvendo in
x l'equazione equivalente a quella di Snell:

sin(i) = sign(x)/sqrt(e^2 ( cos(a) x + sin(a))^2 + o^2(sin(a) x -
cos(a)x)^2]

dopo quadratura di:

sign(x)/sin(i) = sqrt(e^2 ( cos(a) x + sin(a))^2 + o^2(sin(a) x -
cos(a)x)^2]

come procede fino ad un certo punto Giorgio.

La soluzione può essere scritta, senza particolari artifici in modo
valido sia per o>e che per e>o ed anche per qualsiasi segno di i:

tan(r) = { [ 2(e^2*cos^2(a) + o^2*sin^2(a))] / [ (o^2 - e^2)*sin(2a) -
(2/Sin(i))*sqrt(o^2*sin^2(a) + e^2*cos^2(a) - o^2*e^2 sin^2(i))] }

Visto questo l'estensione ad una soluzione generale, nel caso in cui la
direzione d'incidenza è sgemba al piano dell'asse ottico normale alla
superficie rifrangente, non dovrebbe presentarti particolari difficoltà
formali.

> Sam

Received on Sun Dec 04 2011 - 17:38:44 CET