limite ultra-thin dell'energia magnetostatica

From: Hypermars <hypermars_at_despammed.com>
Date: Wed, 18 May 2005 15:23:40 -0400

Il post e' un follow-up di un mini-thread su ISM uscito male.

Vorrei che mi aiutaste a capire un problema fisico-matematico. La prendo
alla lontana.

Prendiamo un dischetto sottile di materiale magnetico di raggio R, spessore
t, aspect ratio a=t/R, saturazione M. Assumiamo che sia presente un campo
applicato perpendicolarmente all'asse del disco di intensita' sufficiente a
saturarlo completamente. Il dischetto e' quindi uniformemente magnetizzato.
Scegliamo l'asse x lungo la direzione del campo applicato.

Vogliamo calcolare la self-energy del dischetto magnetizzato

E = mu0/2 \int M.H dV

nel limite ultra-thin t->0, dove H e' il campo di s(de)magnetizzazione
generato da M.

Risulta che l'energia e' esprimibile come:

E = E0 I(a)

con E0 = pi/2 mu0 M^2 R^2 t, e

I(a) = 1/a \int dq/q^2 J1(q)^2 [aq-1+exp(-aq)]

con q da zero a infinito.


Tutto quanto sopra era preliminare, ed e' tutto okay.

Il problema nasce quando voglio determinare il limite a->0. Se prima faccio
l'integrale (e' risolvibile con integrali ellittici) e poi sviluppo, ottengo
un andamento del tipo

I(a) ~ a log(a)

Se invece faccio prima il limite dentro l'integrale, espando per a piccolo
la parentesi quadra, e mi determino gli ordini successivi in a, ho due
grossi problemi:

1) al prim'ordine ho I(a) ~ a, ovvero perdo il logaritmo.

2) gli ordini successivi non convergono (mentre posso sviluppare fino ad
ordine arbitrario la soluzione esatta di I(a) espressa con integrali
ellittici).


Vorrei capire perche' succede cio'. E, da un punto di vista
formale-notazionale, imparare come si chiama la convergenza di un integrale,
come I(a) che *non* permette la procedura mostrata (espandere dentro e
calcolare separatamente gli ordini successivi). Si chiama convergenza
condizionata? (condizionata a cosa esattamente?) convergenza debole? (quanto
debole?) non-uniforme? puntuale? lenta?...

Un'ultima nota. Di solito, la procedura di espandere l'esponenziale dentro
all'integrale funziona: esempio (il primo che mi viene, forse e' troppo
banale)

I(a) = \int exp(-x) exp(-a x) = 1/(1+a)

Sviluppo "dopo"

I(a) = 1/(1+a) = 1 - a + a^2 - a^3 + ...

Sviluppo "prima"

I(a) = \int exp(-x) (1 - a x + 1/2 a^2 x^2 + ...) = 1 - a + a^2 - a^3 + ...


Quando si puo' fare? questa convergenza e' evidentemente piu' "forte" (in un
qualche senso che sicuramente in matematica e' perfettamente chiaro e
quantificato). Come si chiama?


Grazie,

Bye
Hyper
Received on Wed May 18 2005 - 21:23:40 CEST