Trasformate di Legendre

From: User Name <username_at_company.com>
Date: Mon, 25 Apr 2005 21:18:12 GMT

Cari amici

Per poter fare una buona domanda occorre aver compreso qualcosa
dell'argomento trattato.
Non � il mio caso. Perci�, citando un personaggio che dovrebbe essere
ben noto ai frequentatori di questo gruppo, vi prego di considerare
questo messaggio un "atto di disperazione" !

IL problema � questo: sto preparando meccanica razionale ed
immancabilmente nel passaggio dal formalismo lagrangiano a quello
hamiltoniano sono state evocate le trasformate di Legendre (nel seguito,
TDL).

Ho consultato, Arnold (Metodi matematici della meccanica), Callen, e
tutta la mercanzia in voga in questi frangenti ma, sebbene abbia
compreso la liturgia del procedimento, me ne sfuggono completamente le
ragioni.

La trattazione delle trasformate di Legendre pi� completa che conosca �
riportata in Arnold - "Metodi geometrici della teoria delle equazioni
differenziali ordinarie". Ma �, (che Arnold mi perdoni!), illeggibile
(per me, almeno!).

1. In vari testi di geometria differenziale si presenta la TDL come una
trasformazione del fibrato tangente in quello cotangente e se ne
fornisce l'espressione coordinata.
Mi chiedo:
1a: ma 'sta cosa agisce solo sui campi semispray o su un qualsiasi campo
?
1b. in questo genere di trattazione svanisce la richiesta che la curva
da trasformare sia convessa (posta nelle trattazioni elementari) ? Ed in
questo caso come definire la convessit� di una curva su una variet�
differenziabile ?
1c: questa presentazione coordinata della TDL � necessaria o di questa
esiste una definizione intrinseca (ad esempio, del tipo: la TDL �
l'unica applicazione involutiva che ....)
1d: ma per definire la TDL occorre necessariamente scomodare strutture
differenziabili ?
Non la si potrebbe introdurre semplicemente tra spazi di Banach ? O tra
spazi vettoriali ?

Il summenzionato e (che Arnold mi perdoni!) vituperato enigma a forma di
libro ("Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali
ordinarie") recita:

"La TDL � un caso particolare di una costruzione generale delle
geometria proiettiva ...

Lo spazio proiettivo degli iperpiani dello spazio proiettivo RP^n si
chiama duale di RP^n ....

La TDL non � altro che i passaggio da una curva a quella proiettivamente
duale, scritta in coordinate affini....

La dualit� proiettiva consente di studiare casi pi� generali di quelli
considerati con l'aiuto della TDL ..."

Arabo, arabo allo stato puro (per me, almeno!).

E quant'anche lo avessi capito, uno spazio proiettivo non � munito, di
per se, di una struttura topologica e di conseguenza non pu� essere (a
meno di imposizione di strutture ulteriori) carrier di uno spazio
vettoriale rispetto a cui porre il problema della ricerca delle curve
integrali (che � in ultima analisi la finalizzazione delle equazioni di
Lagrange ma, a loro modo, anche di quelle di Hamilton).

E sorvolando pure su questo: ma come c'entra tutto questo con la
riduzione di un sistema di tipo lagrangiano (del secondo ordine) in un
hamiltoniano (del primo) ?

Ho lungamente cercato con Google materiali che potessero aiutarmi a
sciogliere l'enigma.
Ho preso un t� bollente e della valeriana.
Ho letto Saletan ("Theoretical mechanics"), Haud e Finch, Makunda.
Ho letto il, peraltro pregevole, libro di Benenti ("Modelli matematici
della meccanica classica").
Ci ho pensato per una settimana.
Tutto questo non � servito a niente.
Non so a che santo votarmi.

Mi aiutate ? Anche indicazioni bibliografiche sono benvenute !
Grazie, grazie !!!

Giovanna

P.S.

Domanda strana ma sensata: "la circostanza che tutti 'sti libri si
rimpallino l' "algoritmo" delle TDL senza illustrarne il significato,
non � che, per caso, sia indizio del fatto che delle TDL non ci ha
capito veramente niente nessuno ?"
Received on Mon Apr 25 2005 - 23:18:12 CEST