"Aleph" <nospam_at_no_spam.com> wrote in message
news:d1eu71$ffs$1_at_news.newsland.it...
> Bruno Cocciaro ha scritto:
>
> ...
> > Prescindiamo da questoni relativistiche, quindi immaginiamo che le
molecole
> > abbiano ovunque una velocita'<<c e immaginiamo che sia (come
verosimilmente
> > intendeva Chicco83)
> > T*=T-2mgh/(3K)=temperatura del gas (supposto monatomico anche se non e'
> > essenziale) all'altezza h.
>
> > Con il supposto gas di particelle (T sotto e T* sopra), essendo T*<T'
> > avremmo un rendimento maggiore quindi potremmo essere ad esempio in
> > situazione tale da sottrarre 1.1 J dal basso per poi cederne 0.5 J in
alto.
> ...
>
> Ripropongo nel seguito ("mutatis mutandis") il ragionamento originale di
> Elio applicandolo al caso del gas monoatomico nelle ipotesi (ovviamente
> sbagliate) riportate sopra, i pezzi tra parentesi [ ] li ho aggiunti io.
>
> !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
[...]
> Il costo e' [Q1*2gh/<v1^2>, per cui prelevando Q1 a terra si puo' cedere
in
> alto giusto Q2, che vale infatti
>
> Q1*(1 - 2gh/<v1^2>).
>
> !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
>
> Mi puoi spiegare cosa c'� che non va nella mia "parafrasi" del
> ragionamento originale di Elio?
L'errore sta nel fatto che il costo e' minore di quello detto da te. Inoltre
il "costo" e' un puro effetto relativistico e non puo' essere indipendente
da c.
Supponiamo di prelevate Q1 dal basso (temperatura T1). Dovremo restituire in
alto (temperatura T2<T1) una quantita' di calore Q2=(T2/T1)Q1. Pero',
spostare energia in alto costa energia, cioe' partendo dal basso con una
quantita' di calore Q0 arriveremo in alto con una quantita' di calore
Q(h)=Q0*exp(-gh/c^2). Questo significa che per poter arrivare in alto con
una quantita' di calore Q2 dovremo avere a disposizione in basso di una
quantita' di calore Q0=Q2*exp(gh/c^2) cioe'
Q0=Q1*(T2/T1)*exp(gh/c^2). Poiche' la quantita' di calore prelevata dal
basso e' Q1 allora se Q1>Q0 la macchina potra' funzionare: si preleva Q1 dal
basso, si sposta Q2 in alto e per spostarlo il costo sara' (Q0-Q2) (cioe' in
totale, fra costo per lo spostamento e calore da cedere in alto, dovremo
spendere Q0). Ad ogni ciclo viene prodotto lavoro pari a Q1-Q0.
La questione decisiva e' che sia Q1>Q0, cioe' (T2/T1)*exp(gh/c^2)<1, cioe'
T2 < T1 * exp(-gh/c^2).
Notiamo intanto che per un gas di fotoni si ha proprio esattamente T2 = T1 *
exp(-gh/c^2), quindi con un gas di fotoni la macchina non potra' funzionare.
Per un gas di molecole Elio nel pdf e, mi pare, anche Landau nel passo
ricordato da te, mostra che vale esattamente la stessa relazione, quindi la
macchina non potra' mai funzionare ne' con le molecole ne' con i fotoni.
Pero' il motivo per il quale la macchina non funziona con le molecole e'
sottile (cioe' e' esattamente lo stesso motivo per il quale non funziona
nemmeno per i fotoni, ma non e' per niente ovvio vedere che l'andamento
della temperatura con l'altezza, sia per i fotoni che per le molecole, e'
sempre lo stesso). Tale motivo sottile era molto lontano dalle idee di
Chicco83 il quale riteneva che la relazione T2 < T1 * exp(-gh/c^2) fosse
verificata per le molecole. In particolare lui riteneva (essendo nel limite
classico) che fosse T2=T1-2mgh/(3K). ***Questo era l'errore di Chicco83***.
Egli non sbagliava nel dire che se fosse T2=T1-2mgh/(3K) si avrebbe una
violazione del secondo principio (quindi in questo egli andava confortato,
gli andava detto "Si', se fosse vero quanto detto da te si avrebbe una
violazione del secondo principio"), faceva un errore piu' sottile, errore
che avrebbe commesso pari pari qualora egli avesse ripetuto il suo
ragionamento tenendo conto degli effetti relativistici (il che prova che
l'errore era proprio quello che sto cercando di indicare, cioe' Chicco83 non
aveva avuto una "intuizione corretta", aveva proprio commesso un errore che
andava sottolineato). A supporto di quanto detto sopra vado ora io a
parafrasare il discorso di Chicco83 tenendo conto degli effetti
relativistici. Vedremo che, commettendo lo stesso errore che Chicco83
commetteva in ambito classico, arriveremo ad avere anche qua una violazione
del secondo principio.
Lanciamo verso l'alto una particella di massa m. La sua energia avra' un
andamento di tipo
E(h)=E(0)*exp(-gh/c^2).
A noi interessa l'energia cinetica Ec (che e' proporzionale alla
temperatura); sara':
Ec(h)=E(h)-mc^2=E(0)*exp(-gh/c^2)-mc^2.
Detto Ec(0)=E(0)-mc^2 e
eps=Ec(0)/(mc^2)
otteniamo dopo qualche calcolo:
Ec(h)=Ec(0)*[exp(-gh/c^2) - (1/eps)*(1-exp(-gh/c^2)) ]
cioe', vista la proporzionalita' fra Ec e T:
T(h)=T(0)*[exp(-gh/c^2) - (1/eps)*(1-exp(-gh/c^2)) ] (*).
La (*) nel limite classico eps-->0 (e nell'ulteriore limite (gh/c^2)-->0)
da':
T(h)=T(0)*[1 - mgh / Ec(0) ],
cioe' esattamente il risultato visto sopra qualora si sostituisca
(3/2)*K*T(0) ad Ec(0).
Cioe', come doveva essere, otteniamo che il calcolo che tiene conto degli
effetti relativistici si riduce al calcolo classico nel limite c-->oo.
Nel limite ultrarelativistico eps-->oo la (*) da':
T(h)=T(0)*exp(-gh/c^2)
cioe' lo stesso andamento che si ha nel gas di fotoni il che sta ad indicare
che, quando e' trascurabile l'energia di riposo delle particelle, che si
tratti di particelle massive o di fotoni e' (al limite) la stessa cosa.
Vediamo ora perche' questo ragionamento sbagliato porta a violazioni del
secondo principio:
abbiamo gia' visto sopra che qualora fosse T2 < T1 * exp(-gh/c^2) la
macchina proposta da me funzionerebbe, cioe' si avrebbe violazione del
secondo principio.
Dovrebbe cioe' essere T(h) < T(0) * exp(-gh/c^2), ma vediamo che la
relazione (*) (che e' sbagliata!!! e' la relazione relativistica risultato
del ragionamento sbagliato con il quale vorrei parafrase quello di Chicco83.
La relazione corretta e' T(h)=T(0)*exp(-gh/c^2), sia per i fotoni che per le
particelle) da' sempre (per ogni valore di eps) una T(h) < T(0) *
exp(-gh/c^2). Cioe' utilizzando un gas di particelle massive la macchina
proposta da me funzionerebbe sempre (in qualsiasi limite, sia per particelle
classiche che per particelle ultrarelativistiche, con la colonna di gas
avente una qualsiasi altezza).
Ne segue che anche qua, come per il post originariodi Chicco83, c'e' da
chiedersi perche' la (*) e' sbagliata.
E la risposta e' che la relazione corretta e' T(h)=T(0)*exp(-gh/c^2) cioe',
nel limite classico in cui verosimilmente si poneva Chicco83, T(h)=T(0).
Sui motivi per i quali il discorso fatto sopra e' sbagliato io non mi saprei
esprimere. Purtroppo non ho nemmeno capito per bene perche' e' sbagliato il
discorso analogo nel limite classico ... il discorso del perche' in assenza
di collisioni si avrebbe sempre lo stesso risultato ... ho avuto delle
indicazioni ma proprio non me la sentirei di dire che ho capito.
> Aleph
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Sat Mar 19 2005 - 19:06:02 CET