Non ho potuto eguire tutta la discussione, ma mi sembra che il
risultato finale di Tetis torni col mio.
Per chiarezza ho preferito rifare i conti da capo (anche perche' avevo
buttato via i fogli coi conti vecchi) e ve li espongo conun po' piu'
di dettaglio.
Il problema e': striscia conduttrice scarica, che occupa la regione
|x|<a, y=0.
E' presente un campo esterno (prodotto da cariche molto lontane)
obliquo, che forma angolo alfa coll'asse x.
Posso ignorare la coordinata z.
Il potenziale V(x,y) soddisfa quindi le seguenti condizioni al contorno:
a) V(x,0) = 0 per |x|<a
b) V = x*cos(alfa) + y*sin(alfa) per |x|, |y| >> a.
V e' una funzione armonica, quindi e' parte reale di una funzione
olomorfa che chiamo W = V + iQ.
Le condizioni di Cauchy-Riemann dicono
dV/dx = dQ/dy, dV/dy = -dQ/dx (d sono derivate parziali).
Inoltre
Ex = - dV/dx = dQ/dy,
Ey = - dV/dy = dQ/dx.
Ey fornisce anche la densita' di carica sulla striscia conduttrice,
nel senso che sigma = Ey sulla faccia superiore, sigma = -Ey su quella
inferiore.
La soluzione e' W = sqrt(z-a)*sqrt(z+a)*cos(alfa) - iz*sin(alfa) (1)
(qui z=x+iy).
Infatti:
a) W e' olomorfa sul piano z, tranne il segmento |x|<a, y=0, che e' un
taglio.
Su questo segmento la parte reale di W e' nulla e non ha discontinuita'
attraverso il taglio, mentre la parte immaginaria vale:
Q = sqrt(a^2-x^2) * cos(alfa) - x * sin(alfa) per y = 0+
-sqrt(a^2-x^2) * cos(alfa) - x * sin(alfa) per y = 0-.
Dunque
Ey = dQ/dx = -x * cos(alfa) / sqrt(a^2-x^2) - sin(alfa) (faccia sup.)
x * cos(alfa) / sqrt(a^2-x^2) - sin(alfa) (faccia inf.)
La densita' di carica e' quindi
-x * cos(alfa) / sqrt(a^2-x^2) - sin(alfa) sulla faccia superiore
-x * cos(alfa) / sqrt(a^2-x^2) + sin(alfa) sulla faccia inferiore.
Come si arriva alla (1)?
In primo luogo, si separa il problema in due:
1) caso alfa=0
2) caso alfa=pi/2
e poi si usa il pr. di sovrapposizione.
Caso 1: W deve avere un taglio sul solito segmento, e andare a infinito
come z, visto che la parte reale va come x.
La soluzione e' sqrt(z-a)*sqrt(z+a).
Caso 2: E' banale, perche' l'asse x e' equpotenziale, quindi non c'e'
nessuna singolarita'.
Se V va all'infinito come y, allora W = -iz.
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sun Feb 27 2005 - 20:26:47 CET