Piercarlo wrote:
> Chiacchierando sono venuto a sapere che le matrici che commutano
> tra loro in fisica sono legate alla conservazione di qualcosa (energia o
> altro).
Esatto: in generale, se un operatore (una matrice quadrata e'
semplicemente un operatore su di uno specifico spazio vettoriale a
dimensione finita) commuta con l'hamiltoniana del sistema, e quell'
operatore rappresenta un'osservabile del sistema, allora
quell'osservabile e' una costante del moto.
L'Hamiltoniana commuta con se stessa, dunque l'energia si conserva
(stiamo parlando di sistemi isolati). La quantita' di moto lungo l'asse
x e' px = -i hbar d/dx e percio' commuta con H solo se H non dipende
dalla coordinata x, ovvero, in termini classici, se non v'e` componente
x della forza: e questo classicamente torna! Il momento angolare L
attorno ad un asse si conserva se e solo se H non dipende dall'angolo di
rotazione attorno a quell'asse, e si puo' vedere che in questo caso che
H e L commutano e che - parlando in termini classici - non c'e` un
momento torcente attorno all'asse.
Nota una cosa importante: la commutativita' negli ultimi due casi (in
realta' anche nel primo, ma e' una cosa leggermente diversa) dipende dal
fatto che l'Hamiltoniana e' invariante per una certa trasformazione.
P.es. nel caso della qdm la conservazione di px e' legata al fatto che H
non cambia se sposti il sistema lungo l'asse x. Si tratta di un fatto
del tutto generale: la conservazione di una quantita' e sempre legata ad
un'invarianza del sistema per una opportuna trasformazione. Il teorema
naturalmente e' valido anche in meccanica classica, ed in effetti venne
per la prima volta dimostrato in quell'ambito (Emmy Noether).
--
Enrico Smargiassi
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia
Received on Sat Feb 19 2005 - 10:12:00 CET