Il 04 Feb 2005, 20:55, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Paolo Avogadro ha scritto:
> > Vediamo se posso iscrivermi ai ghostbusters:
> > La differenza qualitativa tra l'esempio di Valer e quello di Elio �
> > che se prendo l'esempio del campo centrale le soluzioni non
> > simmetriche "perdono" la simmetria a causa di condizioni iniziali non
> > simmetriche ma queste condizioni non sono necessarie, mentre in questo
> > modello le equazioni richiedono che la simmetria non possa continuare
> > ad esistere al variare di un opportuno parametro.
> > In pratica il modello per alcuni parametri(che non violano la
> > simmetria) non ammette soluzioni simmetriche.
> Mi pare giusto.
>
> > A questo punto per� sorge spontanea una domanda, nel modello di
> > lagrangiana succitato cosa contrasta la forza F quando la sbarra resta
> > dritta (probabilmente c'� un termine di "resistenza allo
> > schiacciamento" della barra che non ho notato)?
> Certo, la sbarra e' appunto una sbarra, quindi capace di resistere a
> compressione.
> Potresti pensare a un modulo di Young finito, ma ni pare una
> complicazione inutile: assumiamo modulo infinito e buonanotte.
Attento pero' che il carico critico di Eulero va linearmente nel
modulo di Young. Puoi aggiustare il modello ipotizzando
che l'altro termine di proporzionalita', il momento d'inerzia sia
nullo. In altre parole E*I = costante. Tuttavia, per ottenere questa
circostanza occorre notare che il momento d'inerzia scala come
il quadrato delle dimensioni trasversali. Nel caso di un'asta cilindrica
significherebbe che il momento d'inerzia scala come l'area superficiale
della sezione. E via dicendo troveresti che la compressibilita' che
avevi cacciato dalla finestra rientra dalla porta. Asta no, foglio ok.
> Passiamo alle cose serie :)
>
> La catena di spin non e' che un'infinita' numerabile di sistemi a due
> stati, che per ragioni che vedremo conviene pensare disposti su una
> retta, in certe posizioni fisse equidistanti, da -oo a +oo.
> Ogni sistema ha il suo spazio di Hilbert, in questo caso di dimensione
> 2: lo chiamo H_i.
> L'algebra delle osservabili in H_i consiste dell'identita', delle
> matrici di Pauli e relative combinazioni lineari.
> (Dato che non c'e' pericolo di equivoci, indichero' con x_i, y_i, z_i le
> matrici di Pauli relative al sistema i-esimo.)
> A rigore dovrei prendere solo matrici hermitiane, ma queste non
> formano un'algebra, quindi bisogna allargarla includendo anche le
> combinazioni complesse.
>
> Possiamo (ma solo a scopo euristico) immaginare che ogni sistema abbia
> una hamiltoniana E_i che possiamo identificare con z_i, o se
> preferisci con (I_i-z_i)/2, che ha autovalori 0 e 1; e chiamare "stato
> fondamentale" quello con autovalore 0.
> L'hamiltoniana totale sara' E = \sum E_i (non ci sono quindi interazioni).
>
> Per il sistema complessivo dovrei considerare il prodotto tensoriale H di
> tutti questi H_i, che non e' separabile.
> Una base sarebbe data dai prodotti tensoriali degli autovettori delle
> E_i; quindi la base viene descritta dalle successioni bilatere di 0 e
> 1. L'insieme di queste successioni ha la cardinalita' del continuo,
> come ci si doveva aspettare visto che H non e' separabile.
H come spazio topologico non e' separabile. Pero' per dire
che la base dello spazio vettoriale non e' numerabile mi sembra
di inciampare in un salto logico. Direi che se la base della topologia di
uno
spazio topologico e' numerabile questo e' separabile, inoltre, ma
questo importa nel contesto hilbertiano, non ancora adesso, se
e' metrico separabile allora ha base numerabile. Dunque
se lo spazio topologico non e' separabile la sua topologia non
puo' essere numerabile. In piu' vale la caratterizzazione che uno
spazio separabile ha un sottoinsieme denso numerabile. Questo
e' smentito dal fatto che la base e' un sottoinsieme e non e' numerabile.
> E' ragionevole (ecco a che serve aver introdotto l'hamiltoniana)
> limitarsi a considerare solo i vettori base in cui un numero finito di
> sistemi e' fuori dello stato fondamentale; ossia solo quelle
> successioni con un numero finito di 1. questi formano un insieme
> numerabile.
Con questo stiamo considerando nello spazio vettoriale ambiente
un sottospazio e lo stiamo dotando di una topologia normata, sarebbe
fino a questo punto solo uno spazio pre-Banach se non fosse che questa
topologia puo' essere indotta da un prodotto scalare. Questo prodotto
scalare e' l'ordinario prodotto hermitiano componente per componente.
Data una norma sono ben poste le sequenze di Cauchy di questo
sottospazio vettoriale e possiamo attuare il completamento a spazio
di Banach. Lo spazio di Banach ottenuto ha un buon prodotto scalare
perche' la condizione di Cauchy insieme con la disuguaglianza triangolare
lo implicano. Dunque lo spazio di Banach ottenuto e' di Hilbert. E' simile
ed
anzi isomorfo, stante la numerabilita', al noto spazio l^1 delle sequenze
finite.
> Pero' attenzione: questo non va bene, perche' le combinazioni lineari
> finite di questi stati non formano uno spazio di Hilbert (completo).
> Poco male: basta considerare la chiusura nella topologia indotta dalla
> norma (che non ho detto come e' definita, ma credo sia ovvia).
> Questo sara' il nostro spazio di Hilbert (separabile). Lo chiamo H'.
>
> Esercizio: dimostrare che E in H' non e' un operatore limitato.
Puo' essere sufficiente esibire una sequenza unitaria in H'
tale che la norma di E x_n non e' limitata. Tale e' la sequenza
dei vettori monolateri (1 1 1 1.... 1 0 000)/sqrt(n) con n uni
consecutivi. L'energia su questi vettori porta il fattore di
normalizzazione al numeratore. I vettori ottenuti non sono
piu' a norma limitata, infatti sqrt(n) non e' una funzione limitata.
> Fine della prima puntata.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Sun Feb 06 2005 - 18:51:02 CET