On 06/01/20 16:26, Elio Fabri wrote:
> Soviet_Mario ha scritto:
>> Geometricamente non mi risulta ovvio che un oggetto
>> unidimensionale
>> non possa avere una curvatura (anzi mi pare che si possa
>> definire il
>> raggio di curvatura di una linea, magari variabile punto a
>> punto ...
>> anche se così come non capisco la curvatura vera dello
>> spazio tempo
>> nemmeno a questa saprei assegnare un significato fisico
>> qualsivoglia)
> Ottima domanda, che in un certo senso ho provocato scrivendo
> quelle
> parole :-)
premetto che non ho ancora saputo digerire molto la risposta
(e anche chiedendo lumi ad un mio collega non ne sono venuto
a capo).
Purtroppo mi ha sortito l'effetto inverso di scatenarmi una
serie di dubbi che probabilmente almeno in parte avevo già
chiesto, non so in che 3D (perché mi ricordo la faccenda
dell'immersione di oggetti in spazi a dimensionalità superiore).
Ma come ogni volta che capisco solo parzialmente, poi mi
avvito sulle stesse domande come la prima volta o in forme
che a me sembrano diverse.
>
> Sarebbe troppo facile rimandare anche te ai pertinenti
> capitoli di
> Q16. Troppo facile e anche ingiusto.
in realtà penso né l'uno né l'altro. Semplicemente non ne
caverei niente in ogni caso. Sicché sono contento della
risposta presente anche se mi produce più domande ulteriori
> Si tratta in realtà di concetti basilari di geometria
> diferenziale,
> che a parte il nome pomposo sarebbero perfettamente alla
> portata di
> uno studente di scuola sec. superiore.
> E' uno dei vari argomenti di matematica che se toccasse a me
> riscrivere le IN amerei inserire.
e questo mi incentiva a insistere
>
> In poche parole, occorre la distinzione fra curvatura
> *intrinseca* o
> (interna) ed *estrinseca* (o esterna).
prima domanda : esiste una qualche relazione o classe di
relazioni (intese o in senso matematico o boh, topologico)
tra le due classi di curvatura ?
Una è prerequisito dell'altra ? Sono del tutto indipendenti
? Una è sottoinsieme dell'altra ? Sono parzialmente
sovrapposte ma esistono "oggetti" con solo una delle due e
non l'altra ?
Esempi, se ci sono, di cose con curvatura intrinseca e senza
estrinseca, con entrambe, o solo curvatura estrinseca,
sarebbero magari utili
>
> Facciamo l'esempio più facile: prendi un foglio di carta e
> arrotolalo.
> In origine era piano (piatto) non curvo, ora è curvo.
> Però la curvatura che vedi è estrinseca, esiste solo perché
> il foglio
> sta in uno spazio 3D.
> La puoi definire in vari modi, per es. osservando che le
> normali in
> punti diversi del foglio arrotolato nomn sono parallele,
> mentre per il
> foglio piatto lo erano.
>
> La stessa cosa puoi fare per una curva nel piano: le normali
> in punti
> diversi formano un angolo, e andando a precisare le cose
> puoi usare
> proprio questo angolo per definire il raggio di curvatura.
> Al tempo stesso, puoi "raddrizzare" qualunque curva del
> piano senza
> alterarne la lunghezza: se prendi due punti A e B della curva
> originaria e gli stessi due punti dopo che l'hai
> raddrizzata, la
> lunghezza *misurata lungo la curva* rimane la stessa.
okay, questo punto mi torna. Ci intravedo il fatto di non
avere mai dei "gradienti" di fittezza dipendenti dalla
direzione. Non so perché invece mi viene in mente la sella,
che non si sa bene che curvatura abbia perché dipende dalla
direzione che si considera. Boh ...
Ora non ricordo le equazioni, ma giocando con Desmos o altri
plotter-visualizzatori, ricordo di curve generate soltanto
da rototraslazioni di rette. Cioè la loro intera superficie
era spazzata e generata da rette. PErò non ricordo le
equazioni purtroppo.
Mi piacerebbe sapere se fossero sviluppabili o meno sul piano.
E se esista una relazione o classe di relazioni (o
descrizioni) che distingua le superfici non sviluppabili.
Esiste una qualche teoria che prevede in modo COMPLETO
(senza escludere nessuna curva non sviluppabile) i requisiti
di non sviluppabilità ?
Occorre qualche restrizione sulle funzioni matematiche
generatrici ? Immagino che la superficie del mio gatto non
sia sviluppabile nel piano, ma che non sia particolarmente
agevole da generare matematicamente. Ora non so come
descrivere superfici simili, "random", ma chiaramente non mi
aspetto teorie e teoremi che possano coprire anche loro.
Però magari boh, butto lì una cavolata a caso : se una
superficie si può spazzare interamente per mezzo di rette è
sviluppabile. E' un esempio, magari non è affatto così !
>
> Lo stesso è vero per il cilindro alias foglio arrotolato: puoi
> definire una distanza tra due punti del cilindro (suff.
> vicini, per
> non avere problemi) e puoi srotolare il cilindro senza
> alterare questa
> distanza.
> Si dice che il cilindro è una superficie "sviluppabile".
la sviluppabilità mi piacerebbe capirla meglio (nei limiti
del possibile)
>
> Ma qui nasce una differenza tra curva e superfici.
> Mentre tutte le curve sono sviluppabili, ossia deformabili
> in una
> retta senza alterare la lunghezza (in modo *isometrico*, si
> dice)
> questo invece non si può fare per tutte le superfici.
ed esiste qualche dritta generale per riconoscere chi si e
chi no ?
E, soprattutto, c'è una relazione (biunivoca ?) tra la
sviluppabilità o meno e i due tipi di curvatura (intrinseca
ed estrinseca) ?
E come si tratta la curvatura di quelle superfici
matematiche in cui (tipo le selle) dipende dalla direzione
esaminata ?
> E' la ragione per cui occorre una certa abilità per
> sbucciare un
> frutto (arancia o mela che sia).
beh si taglia via una sezione di spessore non costante, per
cui il problema si aggira facendo una specie di tronchi di
cono spiralizzato.
Ah ... ecco una superficie interessante : quella della
turbina SAVONIUS a spirale. Viene generata rototraslando un
segmento che contemporaneamente si sposta lungo una
perpendicolare per il punto medio e ruota nel piano
ortogonale ad essa e contenente il segmento. Viene fuori un
fusillo. Imho è sviluppabile, ma non so se sia vero, e cmq
non so il perché.
Tuttavia per come può essere creata in pratica da un
rettangolo di ferro, torcendolo agli estremi, crea
stiramenti proporzionali alla distanza dall'asse neutro
(centrale) che parrebbe contraddire la prima intuizione
> E' anche la ragione per cui non esistono carte geografiche
> della Terra
> che non comportino una deformazione, un'alterazione delle
> distanze.
> La sfera è il più semplice esempio di superficie *non
> sviluppabile*
> nel piano.
ma come mai non lo è ?
Il cono lo è ?
>
> Ci si può accorgere di questo mediante misure fatte solo sulla
> superficie? (La geometria delle formiche, per così dire...)
> Si può, in vari modi.
ecco qui la risposta ha preso una piega per me inattesa,
visto che mi aspettavo altre dimostrazioni, tipo che :
1) la somma degli angoli interni fosse > 180, per non dire
260° (cosa che però forse vale solo per triangoli proprio su
una sfera ma non per forza su superfici bollose diverse)
2) che il teorema di pitagora non fosse verificato (qui
forse ho scritto una minchiata totale)
>
> Forse il più intuitivo consiste nello scegliere un punto O, una
> distanza r, e considerare tutti i punti che hanno da O la
> distanza r
> *sulla superficie*
> Nel piano questi stanno su una circonf. di centro O e raggio
> r, che è
> lunga 2pi*r.
>
> Sulla sfera, O potrebbe essere il polo nord: i punti a
> distanza r
> formeranno un parallelo.
> Quanto è lungo il parallelo di "raggio" r?
> Risposta: 2pi*R*sin(r/R), se R è il raggio della sfera.
> Questo dimostra che la sfera non è sviluppabile sul piano, e
> permette
> anche di definire la curvatura intrinseca.
ah boh, se lo dici tu :) intendo che la dimostrazione
probabilmente da per scontate cose a cui non tutti riescono
a pensare, e magari le sanno pure :\
>
> Allo stesso modo, salendo di astrazione, si può concepire una
> "ipersuperficie" in uno spazio euclideo 4D che non si può
> sviluppare
> in 3D.
mmm ... ma non era il caso contrario ? Di una "superficie
3D" (un solido" che non si può sviluppare in 4D ?
Se è il contrario allora non ho capito davvero una beata minchia
> Solo che qui le cose si complicano perché una sola curvatura
> non basta
> a definirne le proprietà geometriche: ci vuole il tensore di
> Riemann,
> che in questo caso ha 6 componenti.
>
> Gà ti vedo scrivere un racconto di fantascienza su questa
> idea :-D
si la cosa mi intrippa assai.
A proposito di questa roba mi ricordo una domanda sulla
chiralità a dimensionalità superiore.
O forse era sul fatto di avere più di due chiralità e che
requisiti occorrevano, nel caso, per possederla.
La risposta l'ho salvata, ma non me la ricordo.
Evidentemente non l'avevo capita bene :\
Ogni tanto metto da parte qualche perla, ma su quel libro
sono praticamente arenato da 10 anni ormai, e non soltanto
per questi problemi di comprensione geometrica,
semplicemente l'ho lasciato espandere troppo e scritto
troppi pezzi slegati per riuscire a ricucirli organicamente.
E' un libro non più sviluppabile in 1D :\
>
--
1) Resistere, resistere, resistere.
2) Se tutti pagano le tasse, le tasse le pagano tutti
Soviet_Mario - (aka Gatto_Vizzato)
Received on Tue Jan 07 2020 - 15:18:13 CET