Re: Perche' il segno - nella definizione di en. potenziale ?

From: Franco <englishenglish_at_tin.it>
Date: Sun, 12 Dec 2004 15:32:23 GMT

Danguard ha scritto nel messaggio ...
>Qualcuno potrebbe spiegarmi perche' quando si definisce l'energia
>potenziale per una forza conservativa F, fuori dall'integrale compare il
>segno "-" ?
>
> -> ->
>U = -int(F . ds)
>
>E poi il lavoro W diventa uguale a -[delta]U ...
>
>Perche' quel meno??


Temo che tu stia confondendo la funzione potenziale ( vedi nota 1) con
l'energia potenziale.

Qui di seguito dimostro il teorema di conservazione dell'energia meccanica,
cos� si nota quando e perch� viene introdotto il segno "meno".


In un campo di forze conservativo il lavoro L(tra in punti a e b) pu� essere
espresso tramite la seguente

L,a,b = V(b) - V(a) V = funzione potenziale (vedi nota 1)

cio� come differenza fra i valori che la funzione potenziale V assume in b e
in a.

Ora se associamo questa relazione con L,a,b = Kb - Ka (vedi nota 2)

che � cmq valida qualunque sia la natura delle forze agenti e che esprime il
teorema dell'energia cinetica, allora abbiamo:

Kb - Ka = V(b) - V(a) perch� entrambe esprimono L,a,b

Ora mettiamo in relazione direttamente K e V e quindi abbiamo:

Ka -V(a) = Kb - V(b)

Ora introduciamo la funzione U(x, y, z) (vedi nota 3)

e la definiamo come l'opposto del potenziale -V.
Cio� molto semplicemente introduciamo U = -V

E quindi al posto di -V sostituiamo U.

Ka + U(a) = Kb +U(b)

Ora siccome i punti a e b sono due punti qualsiasi questa formula sopra
la possiamo scrivere anche come

K + U = E = costante


Quindi noi abbiamo una funzione U = -V che viene detta energia potenziale
del campo di forze conservativo.

Quindi il segno meno ha la sua genesi in questa dimostrazione appena svolta.

Infatti le relazioni che legano l'energia potenziale al campo di forze sono
le seguenti:

fx = - _at_U/_at_x fy = - @U/_at_y fz = - @U/_at_z

E ora vediamo anche come mai ti ritrovi il segno "meno" fuori l'integrale.

Consideriamo il punto a e il punto b

U(a) - U(b) = INTa,b (fx dx + fy dy + fz dz)

Ora il punto b ha coordinate x, y, z e quindi abbiamo:

U(x, y, z) = - INTa,b (fx dx + fy dy + fz dz) + costante

Cio� siccome abbiamo definito U = -V allora riscriviamo la "funzione"
potenziale integrandola.



Ora nelle note cerco di andare pi� nei dettagli, dettagli che magari non
interessano altri ma che per te potrebbero essere utili.


Saluti a tutti
Franco

Nota (1)

Hai potuto notare che l'energia potenziale � spiegata sui vari testi ed �
facile da intuire di cosa si tratta, quello che invece � pi� ostico da
comprendere � la funzione potenziale di un campo conservativo.

Per comprendere questo bisogna studiare i campi vettoriali e quindi come si
genera una funzione potenziale. Si tratta di analisi vettoriale che dovresti
studiare nel corso di geometria e nel corso di analisi due. Bisogna
comprendere cosa � un integrale di linea per esempio. Senza queste nozioni
propedeudiche non � possibile spiegare nei dettagli cosa � la funzione
potenziale.
Ma se hai tempo e hai voglia prova a consultare Adams, Calcolo differenziale
2, nella parte finale parla proprio dei campi vettoriali ed � un libro utile
per i fisici perch� fa tantissimi esempi interessanti.


Nota (2)

Si tratta del teorema dell'energia cinetica che puoi trovare su un buon
libro di fisica 1.
Cio�, nulla di straordinario dal punto di vista matematico.

Nota (3)

La funzione U(x, y, z) � una funzione posizione, proprio perch� l'enegia
potenziale dipende dalla posizione. Ma credo che questo tu l'abbia intuito
abbondantemente studiando il tuo libro di fisica 1.
Received on Sun Dec 12 2004 - 16:32:23 CET