"Tetis" <gianmarco100_at_inwind.it> wrote in message
news:155Z185Z25Z64Y1100104894X16697_at_usenet.libero.it...
> Il 10 Nov 2004, 15:39, "Bruno Cocciaro"
<b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
> > Ma qui, come sottolineavo sopra, stiamo affrontanto un altro problema
> (avevo
> > detto "per il problema in questione").
>
> Sembra un altro problema, ma in assenza di massa nel
> centro i due problemi sono identici. E quello che trovi e'
> che per la corda libera le frequenze sono tutte multiple
> di una frequenza fondamentale.
Si', e abbiamo stabilito da tempo che i modi dispari ce li ritroviamo anche
nel caso in cui c'e' la massa al centro (che quando viene eccitato un modo
dispari non si muove). Per i modi pari la situazione e' decisamente diversa.
> Quando aggiungi la massa
> la condizione di bordo la scrivo:
>
> tan(k_i l/2) = k_i /[M/mu k_i^2 - K/T]
>
> mi sembra differisca di un fattore due dalla condizione di
> compatibilita' che trovi tu. Perche'?
Non saprei, in effetti anche a me viene che c'e' un fattore 2 di differenza
fra il mio e il tuo risultato. Elio, nel suo intervento del 5/11,
implicitamente diceva che otteneva anche lui lo stesso mio risultato (diceva
"Perfetto, a parte che a secondo membro hai scritto k al posto di ki")
[...]
> > Questo prodotto
> > scalare, che poi e' quello usuale, non rende ortogonali le funzioni in
> > esame, ce ne vuole un'altro.
>
> Quello che ho trovato io per esempio, che poi non so
> se e' lo stesso che ha proposto Fabri. Ti ho spiegato
> come ritrovarlo, dovresti riuscire a ritrovarlo.
Ohhh, finalmente!!!
Io ottengo risultati diversi dai tuoi (forse a causa di quel fattore 2).
Comunque grazie a te ho finalmente capito come cavolo devo fare per
determinare questo prodotto scalare. Fra l'altro, guarda caso, ottengo
esattamente il prodotto scalare che proponeva Elio. Ne segue che, quando nel
mio intervento del 6/11 dicevo che il prodotto scalare fra EXi(x) e EXj(x)
non mi dava 0 ma mi dava
sin[(ki-kj)*(l/2)]/(ki-kj)+(M/(2*mu))*sin[ki*(l/2)]*sin[kj*(l/2)]
evidentemente sbagliavo il calcolo (mi ero dimenticato un addendo in una
somma).
Poiche' nel prodotto scalare proposto da Elio, cioe'
\int_0^{l/2} EXi(x)*EXj(x) dx + (M/(2*mu))*EXi(0)*EXj(0),
non compare il rapporto T/K ne avevo dedotto che quello non poteva essere il
prodotto scalare che rendeva ortogonali le EXi(x) (pensavo che fosse un
prodotto scalare utile per qualche altro motivo che non capivo, ma non il
prodotto scalare che cercavo io), invece a far bene i calcoli si vede che il
rapporto T/K si semplifica. Non ho la minima idea di quale potrebbe essere
il significato fisico di cio', cioe' del fatto che il rapporto T/K non
appare nella espressione del prodotto scalare.
Riassumo il tutto riordinandolo un po', dando anche il valore del fattore di
normalizzazione che Elio aveva tralasciato (fattore che naturalmente mi
viene diverso da quello che ottiene Tetis avendo io ottenuto, come detto, un
prodotto scalare diverso dal suo (e uguale a quello ottenuto da Elio)):
l: lunghezza della corda,
mu: densita' di massa della corda,
T: tensione della corda,
M: massa del corpo fisso al centro della corda,
K: costante elastica della molla,
detti:
rm=(l*mu)/M
rK=(l*K)/T
la condizione sui numeri d'onda assume la forma
cotan(si)=(si/rm)-rK/(4*si) (E**)
si e' legato al numero d'onda ki dalla si=ki*(l/2).
Le autofunzioni pari, normalizzate, sono:
EXi(x)=(1/Ni)*sin[si*((2/l)*|x|-1)]
dove
Ni=SQRT (1/2)* SQRT { 1+(1/rm)*[sin(si)]^2 + 4*rK* [sin(si)/si]^2 }.
Il prodotto scalare (che rende ortogonali le EXi(x) viste sopra) fra le
funzioni f(x) e g(x) e' dato da:
(2/l) * \int_0^{l/2} f(x)*g(x) dx + (1/rm)*f(0)*g(0)
ne segue che il coefficiente ai dello sviluppo per una data ETA(x) pari
sara':
ai = (2/l) * \int_0^{l/2} ETA(x)*EXi(x) dx + (1/rm)*ETA(0)*EXi(0).
Calcolati numericamente i valori si dalla (E**) si ottengono i coefficienti
ai dall'integrale ora visto e l'evoluzione temporale del nostro sistema, che
all'istante iniziale era descritto dalla corda ferma avente profilo dato
dalla ETA(x), sara':
ETA(x,t)=\sum ai*EXi(x)*cos(omi*t)
dove omi=2*(si/l)*(T/mu)^0.5.
E ora, finalmente, sempre che il mio amico Michele, che sara' certo in
ascolto, mi dara' una mano (lui sa usare Mathematica e Java, io no :-( ),
potro' divertirmi a vedere questa corda oscillare !!!
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Thu Nov 11 2004 - 21:02:01 CET