Re: Geometria dell'universo

From: dumbo <yur_at_cocacol>
Date: Wed, 3 Aug 2011 23:43:40 +0200

"luca" <luca0906_at_yahoo.it> ha scritto nel messaggio
news:aeb3fb15-74cd-49bc-8f18-da4a77a3bbef_at_a10g2000yqn.googlegroups.com...
> Riporto qui di seguito una parte di alcune pagine trovate in
> internet :

> L' equazione del campo di Einstein che determina la geometria
> dell'universo (senza la costante cosmologica) e' :
>
> Ruv - 1/2g uv R = - 8 (pi greco) G T uv ( 1 )
>
> Pero' se facciamo l'ipotesi che l'universo sia omogeneo, isotropico e
> a curvatura costante questa formula tensoriale (ricordando che R uv ,
> g uv , T uv sono tensori, cioe' rappresentano configurazioni di
> elementi e non singoli numeri), si semplifica e diventa una equazione
> differenziale scalare scritta nel modo seguente :
>
> (R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) D ( 2 )
>
> Dove D = densita' dell'universo = 5x10^-30 g/cm^3
> R = e' uno scalare che misura la grandezza dell'universo
> R' = e' la derivata di R che misura la velocita' con cui la
> grandezza dell'universo cambia
> K = curvatura dell'universo che puo' assumere valori K=0 K=1
> K= -1
> Pi greco = 3,14.................
> G = costante gravitazionale = 6,67 x 10^-11 m^3 x Kg^-1 x s^-2


> Ora io vi chiedo per quanto riguarda invece R quale valore devo
> inserire nella formula ?

Ho modificato lievemente le formule che hai scritto:
per comodit� ho aggiunto i numeri di riferimento ( 1 )
e ( 2 ) e ho sostituito D a P (P � pi� adatto a indicare la
pressione).

Aggiungo, a scanso di rovinosi equivoci, che la R della ( 1 )
 _non_ � la R della ( 2 ), ma probabilmente te ne eri gi� accorto.

Detto questo, vengo alla tua domanda:

> Ora io vi chiedo per quanto riguarda invece R quale valore devo
> inserire nella formula ?


dipende: se K =/= 0, cio� se lo spazio tridimensionale � curvo,
R � il suo raggio di curvatura; se invece K = 0 (spazio piatto)
R � una funzione che ti dice come varia col tempo cosmico t
la distanza tra due corpi che seguono liberamente l' espansione
dello spazio.

Puoi scegliere due corpi qualsiasi purch� siano abbastanza lontani
tra loro da non influire gravitazionalmente in modo notevole
l'uno sull' altro. Qualunque coppia tu scelga, la forma della
funzione R(t) � sempre la stessa anche se il valore numerico
di R dipende dalla coppia scelta (in un certo istante t, R �
grande se i due corpi sono molto lontani, ed � meno grande
se sono meno lontani).

Nel modello che proponi (Friedmann piatto senza costante cosmica)
se la densit� della radiazione � trascurabile rispetto a quella
della materia hai D = A / R^3 ( A = costante nel tempo, perch� la massa
si conserva) e come puoi subito verificare sostituendo nella ( 2 )
hai R = B t ^ ( 2 / 3 ) dove B � una costante che dipende dalla
coppia scelta, e R � la distanza che separa i due corpi; t � il tempo
cosmico
(presumo tu sappia cosa sia).

> E quale valore avra' la sua derivata R' ? che devo inserire nella
> formula ?

lo vedi subito, �: R' = ( 2 / 3 ) B t ^ ( - 1/3 ) .
La cosiddetta costante di Hubble (che forse � meglio chiamare
parametro perch� � s� vero che � la stessa per tutte le galassie,
ma cambia nel tempo) � per definizione H = R' / R e quindi nel
nostro caso H = 2 / ( 3 t ) . Come vedi B � scomparso; la H infatti �
un parametro tipico dell' universo, e non dipende dalla coppia considerata.
D' ora in poi per costante intender� "indipendente da t ".

> Ma poi ho anche una perplessita' riguardo a K/(R)^2 , se abbiamo detto
> che K = 0 , 1 , -1
> avro' 0 diviso (R)^2 che da' zero ,oppure 1 diviso (R)^2 (anche se
> non so quanto vale R ma di certo e' un numero grandissimo ,elevato poi
> al quadrato.......) avro' come risultato praticamente zero e lo stesso
> vale se pongo K =-1
> Quindi nella formula (R' / R)^2 + k/(R)^2 = ( 8 pigreco G / 3) P quel
> K/(R)^2 cosa ci sta a fare ?

Vedo che Aleph ti ha gi� risposto, da parte mia aggiungo solo qualche
dettaglio matematico; la trascurabilit� del termine di curvatura K / R^2
dipende dal caso che consideri; se consideri l' universo primordiale, cio�
molto antico, allora R --> 0 , perch� R � tanto pi� piccolo quanto pi�
l'universo
� giovane, e qui per giovane intendo semplicemente "vicino all'istante t = 0
in cui � cominciata l'espansione (e non dico "in cui � cominciato
l'universo"
come molti fanno, perch� non � detto che i teoremi di Hawking e
Penrose sulle singolarit� siano applicabili all'universo reale).

In tal caso la radiazione predomina sulla materia e per la legge di Stefan
hai
D = a T^4 ( T � la temperatura assoluta e a la costante di Stefan-Boltzmann)
e quindi la ( 2 ) ti d�:

( R ' ) ^2 + K = b R^2 T^4 ( 3 )

dove b = costante.

Ora, siccome l'espansione � adiabatica e quindi R T non cambia nel tempo,
la ( 3 ) ti d�:

( R' ) ^ 2 + K = q / R^2 ( 4 )

con q = costante.

E' chiaro che se R --> 0 , il secondo membro predomina
su K che � costante, e quindi puoi trascurare K e scrivere:

( R' )^2 = q / R^2 ( 5 )

che integrata ti d� la legge di espansione R / t^(1/2) = costante
e (per la TR = costante) ti d� la famosa legge che lega la temperatura
al tempo, T t^(1 / 2 ) = costante, e che finora ha resistito a tutti i
test
osservativi.
Quindi come vedi nell' universo molto antico � lecito
trascurare la curvatura K / R^2 dello spazio.

Quando per� R cresce, la materia predomina sulla radiazione
e la curvatura non � pi� trascurabile (tranne ovviamente
che nel caso euclideo, K = 0 ).
Lo vedi subito dalla ( 2 ), mettendoci dentro D R^3 = costante
(perch� DR^3 � proporzonale alla massa della materia contenuta
nel volume R^3, massa che si conserva nel tempo) ; hai

( R ' ) ^2 + K = C / R ( 6 )

C = costante

Se l'espansione progredisce verso l'infinito (R --> infinito)
il secondo membro tende a zero e ti resta, al limite:

R' = sqrt ( - K ) ( 7 )

che implica K = 0 (spazio piatto) oppure K = -1 (spazio iperbolico).
ed esclude lo spazio chiuso ( K = + 1 ) ; questo perci� non ammette
R --> infinito e infatti se integri la ( 6 ) con K = +1 ti trovi una R ( t )
che raggiunge un massimo ( = sqrt C ) e poi diminuisce fino a R = 0.
Il diagramma R - t � una cicloide.

Come vedi nel caso dominato dalla materia � impossibile
trascurare la curvatura (quando c'�) dello spazio.

Ciao
Corrado
Received on Wed Aug 03 2011 - 23:43:40 CEST