Pongo qui la mia domanda, sebbene sia di matematica, perché in ism si
dedicano solo a "giochini" e di veri matematici ce n'è forse uno.
Chi penso sappia rispondermi segue anche qui.
Si tratta di un quesito di fisica matematica, sicuramente classico e
che tuttavia mi ha creato un recente problema.
Non sto a spiegare perché me ne sto occupando, in quanto irrilevante.
Vengo al punto.
Il problema sta nel titolo: trovare il potenziale elettrostatico
generato da un disco uniformemente carico.
So bene che se ne può dare un'espressione chiusa mediante un integrale
ellittico, ma il problema sta nel modo come il calcolo è condotto nel
Morse & Feshbach. Solo ora avrei scoperto che quel calcolo è
sbagliato, e chiederei conferma o smentita.
Accenno velocemente (chi vuole, trova il calcolo nel vol. II, pag.
1267).
Il potenziale sull'asse è elementare. A parte una costante
moltiplicativa è
sqrt(1+z^2) - z (1)
(ho posto =1 il raggio del disco).
La (1) si può sviluppare in serie di potenze di z, ma con raggio di
convergenza 1.
(Apro una parentesi: è un esempio di funzione che sull'asse reale è
C^inf, ma la regione di convergenza della serie è dettata dai punti di
diramazione fuori dell'asse reale: z = +/-i.)
Per |z|>1 si può sviluppare in serie di w=1/z: la serie (di Laurent)
ha un termine 1/w a causa del polo in w=0, e ha ancora raggio di
convergenza =1.
Come si vede i due sviluppi valgono su insiemi disgiunti: nessuna
delle due serie converge per |z|=1.
Ma M&F non se ne curano :-)
Per calcolare il potenziale fuori dell'asse introducono due serie in
polinomi di Legendre:
- una con termine generico rho^{2k} P_{2k}(cos(theta))
- l'altra con termine generico (1/rho^{2k+1}) P_{2k}(cos(theta))
(con coefficienti da determinarsi).
Va precisato che alla prima serie occorre aggiungere un termine
rho |cos(theta)|
per fornire la discontinuità della derivata normale sul disco.
I coeff. vengono determinati imponendo che ciascuna serie sull'asse
(theta=0) si riduca alla corrisp. serie già nota.
Si ottiene così una soluzione per tutti i punti interni o esterni alla
sfera. Per rho=1 le serie convergono (e concordano) tranne nei punti
theta=0, theta=pi (se non ho commesso errori) dove divergono
logaritmicamente.
Fin qui potrebbe andar bene (però M&F non discutono la convergenza).
Il problema nasce se si va a verificare l'andamento delle derivate.
La derivata rispetto a rho mi risulta discontinua, mentre al
potenziale richiedo di essere almeno C^2.
Come la mettiamo?
La soluzione trovata è da buttare?
O la si può salvare in qualche modo?
Qualcuno che possiede libri di e.m. avanzato, tipo Jackson, potrebbe
verificare come viene trattato questo problema?
Grazie
--
Elio Fabri
Received on Wed Mar 11 2020 - 16:15:28 CET