"Giacomo Ciani" <giacomo.ciani_at_tiscalinet.it> wrote in message news:<2h3kj1F8dmt2U1_at_uni-berlin.de>...
> > Ciao, la dipendenza dalle condizioni iniziali e' _continua_ in tutti i
> > casi (se parliamo di sistemi fisici), ma per un sistema dinamico
> > caotico la dipendenza � di tipo esponenziale.
>
> Innanzi tutto ammetto di essermi lanciato nella discussione pi� sull'onda
> dell'euforia che per una mia reale competenza in materia (e, rileggendolo,
> quell' "affatto" con cui ho aperto il mio posto suonava davvero tropo
> forte).
> Mi paicerebbe per� chiarire megli questo punto della dipendenza continua:
> per come mi � stata formulata, dipednenza continua vuol dire pi� o meno che
> presa una condizione inizale A che da origine ad una soluzione S(A) e
> fissata una "distanza" D, esiste un epsilon tale che se la condizione
> iniziale B dista da A meno di epsilon, allora S(B) dista da S(A) meno di D.
> Questo vuol dire ad esempio che se conosco A con un certo errore, conosco
> S(A) con un errore grande o piccolo, ma comunque "controllabile" con
> l'errore su A.
> La mia prima domanda �: questo � corretto? E' questo che si intende
> correntemente parlando di "dipendenza continua delle soluzioni dalle
> condizioni inizali"?
> Se la risposta fosse si, si va avanti: tu dici che tutti i sistemi fisici
> hanno tali caratteristiche, ma l'esempio del pendolo da me riportato (che
> per� andrebbe verificato) dimostrerebbe esattaemente il contrario!
> Oltretutto io ho sempre pensato che i sistemi caotici fossero proprio quelli
> in cui non vale tale dipendenza continua... invece tu dici che �
> esponenziale... ma in che senso? Detta cos� la interpreteri come "la
> dipendenza delle soluzioni dalle condizioni iniziali � esponenziale", e
> quindi rientrerebbe comunque nella classe di problemi con dipendenza
> continua. E quelli con dipendenza non continua come si chiamano allora?
> Insomma, ho da fare un po' di chiarezza sulla terminologia prima di passare
> a discorrere di concetti...
Ciao, non so il tuo livello di preparazione, per cui non entro troppo
in profondit�, ma se dico banalit� fermami pure!
Ciao, la continuit� che di solito si intende � quella matematica delle
funzioni, che grosso modo significa che una funzione "non ha scalini".
La maggior parte dei sistemi dinamici classici � esprimibile in sistemi
di equazioni differenziali nella forma (x � un vettore)
dx / dt = f(x, t) x \in R^n
x(0) == x_0
(tralasciando le formulazioni hamiltoniane piu' raffinate). Ora, senza
entrare troppo nei dettagli, sotto opportune ipotesi sulle funzioni f
(lipschitzianit� nelle coordinate, continuit� nel tempo) che non
sono restrittive perch� significano semplicemente che f � una funzione
che si "comporta bene", si pu� dimostrare che, date due condizioni
iniziali vicine a piacere, l'allontanamento nel tempo delle soluzioni
corrispondenti non pu� essere pi� veloce di un'esponenziale. Cio�, date
due condizioni iniziali Q1(0), Q2(0) vicine a piacere
e le corrispondenti soluzioni Q1(t) e Q2(t), si ha che
||Q1(t) - Q2(t)|| <= ||Q1(0) - Q2(0)|| exp(L*t) (1)
dove t � il tempo e L � una costante opportuna (la costante di lipschitz),
e per || || intendo una distanza opportuna. Ora, ci� significa che il
massimo grado di caoticit� � necessariamente esponenziale.
In soldoni, questo cosa significa? che una piccola variazione nelle
condizioni iniziali pu� essere amplificata al massimo tramite una funzione molto
veloce (l'esponenziale). "Sensibilit� esponenziale" alle condizioni
iniziali � appunto la definizione di sistema caotico. Cio�, un
sistema dinamico caotico � sensibile al massimo grado consentito
dalla (1) alle piccole variazioni di posizione o velocit�.
Questa propriet�
� anche detta di "mixing" : pensa a tante condizioni iniziali raggruppate
in uno spazio piccolo che si spargono nello spazio, come una goccia
d'inchiostro nell'acqua.
>
> > I sistemi caotici in natura sono molti di piu' di quelli non caotici
> > (teoricamente, infiniti di piu'; l'insieme dei sistemi "integrabili"
> > infatti ha "misura zero"),
>
> E' quindi vero che tutti i sistemi non integrabili sono caotici (nel senso
> da te usato sopra)?
>
I sistemi integrabili sono sicuramente non caotici. Perch�? Perch�
ammettono tante funzioni conservate quanti sono i suoi gradi di
libert�. Allora, per ottimi motivi che non sto qui a spiegare,
l'allontanamento di due condizioni iniziali pu� essere al massimo
una "legge di potenza" (un polinomio).
Per quanto riguarda la tua domanda, in verit� non � cos� semplice.
Hai presente cos'� lo spazio delle fasi? E' uno spazio in cui
un sistema, metti con 3 gradi di libert�, cio� capace di muoversi
in 3 direzioni, � rappresentato da un punto in uno spazio a 6
dimensioni, 3 date dalle coordinate normali e 3 dai momenti lineari
(velocit� in x, in y e in z). Ora, un sistema non integrabile
ammette zone caotiche (cio� in cui si comporta da caotico)
e zone non caotiche, separati da zone quasi-caotiche. E' un gran casino :)
che si pu� esplorare solo
numericamente... infatti, per molti versi, qui la matematica
� pi� indietro di quanto servirebbe alla fisica. Tuttavia,
un sacco di gente ha scoperto cose favolose sulla teoria
dei sistemi dinamici, gente davanti a cui mi prostro ogni
mattina : Kolmogorov, Arnold, Moser, Anosov... � un campo
affascinante, anche visivamente, e teoricamente stimolante.
E poco compreso.
Tra l'altro, al di l� del tuo esempio interessante su
cui dovrei riflettere un po, ma ho fatto una mini simulazione
(non con forze magnetiche, ma con "molle") e non mi sembra caotico
(ma probabilmente mi sbaglio),
una cosa interessante � che anche due sistemi integrabili semplicissimi,
se sommati, possono ammettere zone
caotiche : prendi un ellissoide omogeneo, triassiale,
con al centro un punto di massa considerevole. Se scrivi le
equazioni del moto, ti accorgi che le equazioni del moto
sono semplicente la somma di un oscillatore armonico 3-d
(una "molla") e un potenziale newtoniano semplicissimo.
Devi sapere che il potenziale armonico e newtoniano sono
due esempi di sistemi che pi� integrabili non si pu�
(e infatti, e non scherzo, si chiamano "superintegrabili").
Ebbene, questo � caotico. Ed � un modello astrofisico, non una cosa
inventata (=>galassie ellittiche).
A presto
Ciao
H.E.
Received on Thu May 20 2004 - 22:37:14 CEST
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