Re: libero arbitrio?

From: Giacomo Ciani <giacomo.ciani_at_tiscalinet.it>
Date: Fri, 21 May 2004 14:07:18 +0200

> Ciao, la continuit� che di solito si intende � quella matematica delle
> funzioni, che grosso modo significa che una funzione "non ha scalini".

Che, a meno di sviste banali che non mi pare di aver fatto, � quella che ho
dato io "a parole", giusto?

> La maggior parte dei sistemi dinamici classici � esprimibile in sistemi
> di equazioni differenziali nella forma (x � un vettore)
>
> dx / dt = f(x, t) x \in R^n
>
> x(0) == x_0
>
> (tralasciando le formulazioni hamiltoniane piu' raffinate). Ora, senza
> entrare troppo nei dettagli, sotto opportune ipotesi sulle funzioni f
> (lipschitzianit� nelle coordinate, continuit� nel tempo) che non
> sono restrittive perch� significano semplicemente che f � una funzione
> che si "comporta bene", si pu� dimostrare che, date due condizioni
> iniziali vicine a piacere, l'allontanamento nel tempo delle soluzioni
> corrispondenti non pu� essere pi� veloce di un'esponenziale.

Questo non lo sapevo... o forse lo sapevo e me ne sono dimenticato!

>Cio�, date
> due condizioni iniziali Q1(0), Q2(0) vicine a piacere
> e le corrispondenti soluzioni Q1(t) e Q2(t), si ha che
>
>>> Q1(t) - Q2(t)|| <= ||Q1(0) - Q2(0)|| exp(L*t) (1)
>
> dove t � il tempo e L � una costante opportuna (la costante di lipschitz),
> e per || || intendo una distanza opportuna. Ora, ci� significa che il
> massimo grado di caoticit� � necessariamente esponenziale.

OK, chiarissimo.

> In soldoni, questo cosa significa? che una piccola variazione nelle
> condizioni iniziali pu� essere amplificata al massimo tramite una
> funzione molto veloce (l'esponenziale). "Sensibilit� esponenziale" alle
> condizioni iniziali � appunto la definizione di sistema caotico. Cio�, un
> sistema dinamico caotico � sensibile al massimo grado consentito
> dalla (1) alle piccole variazioni di posizione o velocit�.
> Questa propriet�
> � anche detta di "mixing" : pensa a tante condizioni iniziali raggruppate
> in uno spazio piccolo che si spargono nello spazio, come una goccia
> d'inchiostro nell'acqua.

D'accordo, la definizione di sistema caotico a questo punto mi � chiara. Ma,
da quel che dici, i sistemi caotici hanno comunque dipendenza continua delle
soluzioni dalle condizioni iniziali, cio� vale che data una soluzione Q(t) e
la sua condizione iniziale Q(0), per ogni intorno I(0) di Q(0) si pu� sempre
individuare un intorno I(t) di Q(t) all'interno del quale si troveranno
tutte le soluzioni originate da condizioni iniziali contenute in I(0). Sto
commettendo qualche errore?
Se la risposta � no, la domanda successiva �: non esistono sistemi per cui
tale propriet� non valga? E quando si paral di effetto farfalla, si paral di
dipendenza esponenziale o (come avevo immaginato io) di dipendenza non
continua?

>>> I sistemi caotici in natura sono molti di piu' di quelli non caotici
>>> (teoricamente, infiniti di piu'; l'insieme dei sistemi "integrabili"
>>> infatti ha "misura zero"),
>>
>> E' quindi vero che tutti i sistemi non integrabili sono caotici (nel
>> senso da te usato sopra)?
>>
>
> I sistemi integrabili sono sicuramente non caotici. Perch�? Perch�
> ammettono tante funzioni conservate quanti sono i suoi gradi di
> libert�. Allora, per ottimi motivi che non sto qui a spiegare,
> l'allontanamento di due condizioni iniziali pu� essere al massimo
> una "legge di potenza" (un polinomio).
> Per quanto riguarda la tua domanda, in verit� non � cos� semplice.
> Hai presente cos'� lo spazio delle fasi?

Si

>Ora, un sistema non integrabile
[...CUT...]
>due esempi di sistemi che pi� integrabili non si pu�
> (e infatti, e non scherzo, si chiamano "superintegrabili").
>
> Ebbene, questo � caotico. Ed � un modello astrofisico, non una cosa
> inventata (=>galassie ellittiche).

Molto interessante: grazie delle spiegazioni. Adesso per� aspetto risposte
alle nuove domande.. :-)

Ciao

Giacomo
Received on Fri May 21 2004 - 14:07:18 CEST