Re: Per favore aiutatemi.

From: andreafr68 <andreafr68_at_despammed.com>
Date: Thu, 27 Nov 2003 11:41:39 +0100

> perch� non sarebbe corretto dire che
>
> f'(x) = df/dx

Giustamente mi pare di aver letto, tra il discorso del tuo prof.
la seguente frase: "Non hanno cittadinanza in analisi standard
i concetti di quantit� infinitamente piccole, ma solo quello di
quantit� finite sempre pi� piccole aventi come limite inferiore lo zero."

Questo significa che nell'analisi come viene studiata ora,
e sistematizzta da Cauchy e Weierstrass (analisi standard),
non ha senso parlare di infinitesimi in atto, cioe' di una quantita' che:
"o sono zero, o non sono zero... se non lo sono, sono quantita'
finite e non e' lecito passare all'infinitesimo; se lo sono allora
l'esperessione non ha senso."

E' questa in sintesi la critica del vescovo di Berkeley a Leibnitz
(o a Newton, mica mi ricordo bene...) ed in effetti non e' nemmeno
tanto insensata. Tanto e' vero che e' stato un problema per i
matematici fino a quando Weierstrass (o qualcun altro) non ha
risolto il "busillis" con l'introduzione della notazione epsilon-delta,
passando per il concetto di limite e dando esplicitamente un valore
potenziale (e non attuale) alla derivata. Cioe' il rapporto e' sempre
al finito, ma si fanno variare le grandezze che compongono il rapporto
rendendole piccole a piacere.
Un noto teorema, sempre di Weierstrass, dimostra che in questo caso
(sotto opportune ipotesi) esiste un numero che si avvicina quanto
si vuole a tale rapporto, quindi a qualcosa si arriva, "dinamicamente"
o "potenzialmente" se vogliamo.

Poi la notazione dy/dx e' rimasta perche' e' molto comoda, ma
i matematici dicono che e' poco piu' di un simbolo (cosi' come
il dx sotto il segno di integrale). Questo perche' in realta' quando
fai una derivata implicitamente fai sempre il limite di un rapporto
(e non un rapporto tout court).

Per passare a definire la derivata come rapporto di differenziali,
a rigore devi dimostrare che gli infinitesimi in atto esistono.
E' questo che in effetti si propone l'analisi non-standard,
con la definizione dei numeri iperreali e degli ultrafiltri,
passando attraverso i metodi della moderna logica. Quindi,
secondo la teoria non-standard dy/dx e' una espressione
perfettamente lecita e sensata e dx e dy sono delle quantita'
ben definite con determinate proprieta' (che non conosco
piu' di tanto..., ma mi fido del lavoro di Robinson & C.).

A parte qualche inevitabile imprecisione (sono un autodidatta
su questi concetti), questo e' quanto, come soleva dire Planck.
In rete si trovano dei pdf che chiariscono un po' questi punti
attraverso la dicotomia "infinitesimo in atto" e "infinitesimo
in potenza". Se trovo l'URL te lo posto.

Se domandi su it.scienza.matematica ti risponderanno in
parecchi e ti spiegheranno la questione meglio di me.
Domanda a Lagnese :-)))

&
Received on Thu Nov 27 2003 - 11:41:39 CET