Andrea Barontini ha scritto:
> ...
> "l'ente fisico", il vettore di stato associato a un qbit e':
>
> |psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1,c2 complessi e |c1|^2 + |c2|^2 = 1
>
> quindi completamente definito da una varieta' reale 3D: la
> condizione di normalizzazione riduce infatti a un unico grado di
> liberta' la possibilita' di scelta dei moduli, gli altri due sono le
> fasi dei coefficienti.
Premessa: credo che questa non sarà proprio la risposta che avevo in
mente dopo il mio primo post.
Ma quello che hai scritto mi porta a rivedere un po' il programma: ci
sono dei punti concettuali che vanno chiariti.
====================================
Dopo la premessa apro una parentesi.
Quella che ormai si chiama "informatica quantistica" (i.q.) è uno
sviluppo di un ramo particolare della m.q.
Si potrebbe quindi pensare che un fisico teorico (come il
sottoscritto) che la m.q. l'ha insegnata per diversi anni, debba
sapere tutto sulla materia, ma non è affatto così.
L'i.q. si è talmente svilupata (grazie alla sollecitazione delle
vicine applicazioni pratiche) che possiede ormai un suo proprio
linguaggio, una serie di teoremi, ecc. di cui lo scrivente ha al
meglio una vaga nozione.
Per esempio non so che cosa intendi con |+>, |->.
Nè ricordo che cosa sia la tua matrice di Hadamard.
Si tratta di cose banali, ma mettersi al passo richiede un po' di
lavoro che non mi sento di fare, purtroppo.
C'è anche un altro aspetto.
Non posso esserne sicuro, ma ho un'impressione.
Credo che l'i.q. abbia preso una strada un po' .... garibaldina, per
tante ragioni.
Un po' mi ricorda la m.q. com'era trattata nei primi libri che ho
studiato (Dirac escluso): libri dove lo sforzo era di rendere le cose
semplici ai fisici che in gran parte erano del tutto nuovi agli
aspetti più rigorosi della m.q. Bisognava quindi presentarla in modo
il più intuitivo possibile, senza stare troppo a pignoleggiare
sull'esattezza matematica.
Questo lo dico non per quello che scrivi tu, ma per es. per quello che
si legge su wiki, anche inglese.
L'articolo sulla sfera di Bloch per es. lascia alquanto a desiderare.
In senso opposto vanno i matematici, che si fanno un punto d'onore di
dire le cose nel modo più ermetico possibile, senza spiegare i perché
e i percome :-(
Guarda ad es. "Riemann sphere" (un altro di tanti nomi della sfera di
Bloch).
Solo nelle ultime righe potrai capire che si sta parlando del tuo
problema...
====================================
Quello che ho citato del tuo post non mi soddisfa del tutto.
Chiamare i vettori di stato "enti fisici" non mi pare chiarisca bene
il rapporto tra fisica e matematica.
Quello che si deve dire è che la m.q. (una teoria fisica) è costruita
su una struttura matematica: uno spazio di Hilbert complesso H, a n.
finito o infinito di dimensioni.
Gli elementi di H si chiamano "vettori di stato".
Nel caso dei qbit, H ha 2 dim. per un qbit, 4 per due qbit, 2^n per n
qbit.
Per ogni sistema fisico, lo stato non è però in corrisp. con un
vettore di stato, ma con un "raggio" in H, ossia con l'insieme dei
vettori che differiscono per un moltiplicatore scalare (complesso e
non nullo).
Dire che gli stati sono in corrisp. coi raggi di H equivale a dire che
lo spazio degli stati è uno spazio proiettivo complesso, con una dim.
in meno di H.
Per 1 qbit lo spazio degli stati è la retta proiettiva complessa, che
ha 2 dim. reali.
Per 2 qbit è un P(3,C), che ha 6 dim. reali, ecc.
Come vedi ora ho riunito i due passi:
- la normalizzazione
- la fase globale arbitraria.
Messe insieme, danno un fattore arbitrario complesso.
> Il vettore di stato devo mapparlo in qualche modo su un punto della
> sfera di Bloch (perche' la sfera di Bloch viene utilizzata nel contesto
> del QC per rappresentare graficamente un qubit).
> Ma la sfera e' una varieta' reale 2D, quindi perche' il mapping sia
> possibile devo "buttare via qualcosa": cio' che butto via e' un fattore
> di fase, che definisco "globale" perche' ottenuto raccogliendo
> nell'equazione di |psi> in modo che cio' che rimane -dopo averlo
> buttato- sia un c1 con fase nulla e un c2 con fase eventualmente diversa
> da 0. La cosa viene giustificata col fatto che il valore di espettazione
> di un osservabile applicato a un vettore di stato e' invariante rispetto
> alla fase globale dello stato, che quindi puo' essere considerata nulla
> (la fase globale ovviamente non e' irrilevante quando ho 2 o piu' qbit
> che interagiscono, ma infatti la sfera di Bloch e' una visualizzazione
> che normalmente non si usa in quel caso).
Non devi, ma puoi.
E diciamolo subito: la sfera di Bloch è utile per visualizzare gli
stati, ma non ci puoi fare conti.
Questo perché non ha la struttura di spazio vettoriale e non possiede
il prodotto scalare.
O meglio, possiede un'impronta del prodotto scalare, qulla che viene
chiamata "probbilità di transizione" tra due stati.
Se ho due stati, rappresentati da due vettori di H: |u> e |v>, il
prodotto scalare è <u|v>, che non è definito sulla sfera di Bloch e
non ha signiicato fisico diretto.
Ne ha invece la prob. di trans., definita come
P(u,v) = |<u|v>|^2 / (<u|u><v|v>).
E' ovvio che P(u,v) >= 0.
Meno ovvio ma vero (disug. di Schwartz) che P(u,v) <= 1 e che P(u,v)=1
solo quando |u> e |v> appartengono allo steso raggio, ossia
rappresentano lo stesso stato.
Nota che P(u,v) dipende solo dagli stati: se poni
|u'> = c1 |u>, |v'> = c2 |v>
verifichi facilmente che
P(u',v') = P(u,v).
> (tralascio per non appesantire ulteriormente il discorso gli
> intervalli per theta e phi)
Male :-)
E' importantissimo osservare che
1) 0 <= theta <= pi
Il theta/2 è necessario per assicurarsi che il coseno non diventi mai
megativo: 0 <= theta/2 <= pi/2.
Questo può essere un elemento di confusione: sulla sfera devi usare
theta, che va fino a pi; però nel vettore di stato figura theta/2.
> Mi affretto verso il mio punto:
> 1) l'espressione a destra dell'uguale e' il punto sulla sfera di
> bloch, di fatto identificato dai valori di theta e phi
E infatti... L'ho appena scritto!
No: la colatitudine sulla sfera è theta, non theta/2.
> 3) l'orientazione degli assi x,y,z della palla puo' essere >
> considerata come l'orientazione della palla nello spazio 3D che la
> contiente, una volta che usciamo dal punto di vista "intrinseco" per
> cui non c'e' nulla oltre la palla
Non mi piace niente il modo in cui la metti.
Nello spirito delle sfera di Bloch gli assi sono fissi e dati prima.
La relazione tra (x,y,z) e (theta,ph)i è quella che conosci e non
scrivo.
Non c'è uno spazio "intrinseco": esiste solo R^3, lo spazio delle
terne (x,y,z).
> 5) quindi mi viene naturale pensare all'altra fase,
> ...
> Intendevo questo, probabilmente non particolarmente utile, ma mi
> sembra che permetterebbe di disegnare le sfere di bloch di due qbit
> una affianco all'altra rendendo conto anche delle rispettive fasi
> globali (che pero' sarebbero reciprocamente relative e quindi non
> irrilevanti!)
Il fatto è che questa rappr. non serve a niente, perché lo stato
complessivo di due qbit ha un altro parametro: il peso relativo.
Devi scrivere una cosa come
cos(th0) {[cos(th1) + sin(th1) cos(phi1) |00> +
[cos(th1) + sin(th1) sin(phi1) |01>} +
sin(th0) exp(i phi0)
{[cos(th2) + sin(th12 cos(phi2) |10> +
[cos(th2) + sin(th2) sin(phi2) |11>}.
Questa è una varietà 6D che non so come diavolo si chiami ed è di
nessunissima utilità.
Molto più semplice restare in C^4 e scrivere
|s> = c00 |00> + c01 |01> + c10 |10> + c11 |11>
ricordando che c'è un fattore moltilicativo compleso che puoi
scegliere liberamente a seconda della convenienza del calcolo.
> per esempio |1> e (e^i(dummy))|1> sono sulla sfera di Bloch lo
> stesso raggio
Meglio: appartengono allo stesso raggio, quindi vengono proiettati
*nello stesso punto* sulla sfera di Bloch.
> ne comportasse la perdita di un pezzo di informazione
Invece questo è inevitabile, visto che la mappa H --> S^2 non è 1 a 1.
> (anche se un pezzo non misurabile nell'ambito di un valore di
> espettazione)
A parte che se scrivi "espettazione" fai pensare all'espettorazione :-)
A parte che a me la parola "aspettazione" non piace affatto e non credo
che neppure esista nella lingua italiana.
Ma questo non è colpa tua. Lo so che è molto usata, perché c'è una
diffusissima pigrizia mentale, per cui quando s'incontra una parola
inglese, delle due l'una: o la si lascia tale e quale (ed è il meglio
tra le due) oppure la si "traduce" in modo maccheronico.
Oltretutto già "expectation" è infelice, perché quel valore non è
niente che uno si possa atttendere.
Può anzi capitare (per un qbit è la regola) che in una misura *non
possa capitare*, se non è un autovalore dell'osservabile misurata.
Quello è solo il *valor medio* (average in inglese) della variabile
casuale definita dai possibili risultati della misura con le
rispettive probabilità.
Non sarò io a poter cambiare un cattivo uso ormai universale, ma
quanto meno mi riservo la libertà di non adeguarmici.
A parte tutto questo, dicevo, non è che la fase sia non misurabile; è
proprio *fuori* dello schema interpretativo della m.q.
Sarebbe come un'energia cinetica negativa in m.classica: semplicemente
impossibile, data la definizione.
> Il fatto che cosi' non sia mi fa sorgere la curiosita':
> - non lo e' perche' non potrebbe esserlo (cioe' non esiste un set di
> operatori unitari corrispondenti a rotazioni di Pi sulla sfera di
> Bloch che non introducano mai fasi globali nel risultato)
> - oppure si usano gli operatori di Pauli perche' hanno altri vantaggi
> troppo importanti per farne a meno?
Per cominciare, *non ha senso* parlare di op. unitari sulla sfera di
Bloch, visto che non è neppure uno spazio vettoriale.
Ovviamente, dato che S^2 è immersa in R^3, le rotazioni di R^3 fanno
quello che cerchi.
Il problema diventa quindi:
- c'è un modo per mettere in relazione le rotazioni di R^3 con gli
operatori unitari di H (ossia di C^2)?
La risposta te la do subito: sì, il modo c'è.
Ma ci vuole un po' di lavoro e di sicuro non intendo parlarne oggi.
Vedremo ... (ha a che fare con le algebre di Lie :-)
Oggi mi limito a spiegarti perché sono utili le matrici di Pauli.
Immagino tu sappia che si chiamano così non perché Pauli le abbia
inventate (sono oggetti piuttosto ovvi per un matematico) ma perché
subito dopo la scoperta dello spin dell'elettrone fu lui che le usò per
aggiungere all'eq. di Schr. tradizionale il grado di libertà di spin.
La "vera" teoria dello spin sarebbe arrivata poco dopo: eq. di Dirac.
Ma tutto questo è fuori del nostro tema.
Dobbiamo invece capire che posto hanno le matrici di Pauli nella m.q.
dei sistemi a due stati (qbit, ma non solo).
Per questo bisogna occuparsi delle osservabili della teoria.
Certo sai che in m.q. le grandezze osservabili sono rappresentate da
operatori (matrici) hermitiani.
Nel nostro H le matrici sono 2x2, quindi abbiamo a che fare con
l'insieme M (purtroppo H l'ho già impegnata ...) delle matrici
hermitiane 2x2.
La prima osservazione è che M è in modo naturale uno spazio vettoriale
sui reali. Ciò vuol dire che se A, B sono due matrici hermitiane, lo è
anche aA+bB, con a,b reali.
La seconda osservazione è che questo spazio ha dimensione 4 (se
avessimo a che fare con C^n avrebbe dimensione n^2).
Quindi una base in M consisterà di 4 matrici lin. indipendenti, che si
possono scegliere in infiniti modi.
Un candidato naturale è I (la matrice identità), poi ce ne vogliono
altre tre.
Però I come osservabile è assai poco interessante, perché tutti gli
stati sono suoi autostati con autovalore 1, quindi non dà nessuna
informazione sullo stato.
Bisogna quindi trovare un sottospazio di M, di dim. 3, che non
contenga I; il che si può ancora fare in infiniti modi
Per ragioni che evito di spiegare, conviene prendere le matrici a
traccia nulla. E' ovvio che questo sottospazio N non contiene I, visto
che Tr(I)=2.
E' anche immediato verificare che le tre matrici di Pauli (che al tuo
pese chiamano X, Y, Z) hanno traccia nulla e sono tra loro
indipendenti, quindi sono una possibile base in N.
Comunque possiamo ora dire che ogni matrice F di M si può scrivere, in
modo unico
F = wI + aX + bY + cZ (w,a,b,c reali)
e che ogni matrice G di N si scrive
G = aX + bY + cZ.
Facciamo un'ulteriore osservazione: lo stato è determinato se si
consoce il vaolr medio di tutte le osservabili su quello stato (non è
mica ovvio, però: è un teorema).
Ma se M è uno spazio vettoriale, tutti i velori medi sono noti se
conosciamo quelli su una base.
Anzi il valore medio di I non dice nulla, visto che è sicuramente 1.
Quindi basta occuparsi delle osservabili di N, e perciò bastano i
valori medi di X, Y Z (o di qualqueu altra base di N).
E ora ecco il gioco di prestigio: per ogni vettore di stato |s>
definiamo
x = <s|X|s>/<s|s>
e simili per y, z.
Quindi x, y, z sono i valori medi di X, Y, Z sullo stato rappresentato
da |s> (puoi facilmente verificare che x non cambia se moltiplico |s>
per un n. complesso qualsiasi (non zero).
Dunque la conoscenza di x,y,z *determina lo stato*.
Anzi sono troppi, visto che lo spazio degli stati è 2D.
Deve dunque esserci una relazione tra x,y,z.
Si dimostra che la relazione è
x^2 + y^2 + z^2 = 1
e che quindi il punto (x,y,z) sta sulla sfera di Bloch. Anzi: è proprio
il punto che rappresenta lo stato |s>.
Non conosco (o non ricordo) una dimostrazione semplice. Quella che ti
potrei dare è un po' lunga e del resto in modo calcoloso ci puoi anche
arrivare da solo.
La sola cosa che ti dico è che nella dim. lunga ma non calcolosa
entrano le seguenti proprietà delle matrici di Pauli:
X^2 = Y^2 = Z^2 = I
XY + YX = XZ + ZX = YZ + ZY = 0.
E per oggi basta.
--
Elio Fabri
Received on Mon Oct 12 2020 - 17:05:32 CEST