Ciao
sto leggendomi un po' di documentazione sul computer quantistico di IBM.
Le convenzioni usate sono le medesime di Wikipedia:
https://it.wikipedia.org/wiki/Sfera_di_Bloch
(fatto salvo che IBM usa theta/2 e phi/2, ma direi che non cambia le
carte in gioco)
e le matrici di Pauli:
X=(0, 1; 1, 0)
Y=(0, -i; i, 0)
Z=(1, 0; 0, -1)
quello su cui sto ruminando e' quanto segue.
Mi e' chiaro che la sfera di Bloch mappa sulla sua superficie (R^2)
qualcosa che senza constraints sarebbe C^2 (quindi R^4 considerando i
gradi di liberta' reali), infatti:
|psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1 e c2 complessi...
...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1 e
inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che in
fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu' corrispondere
all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa nello spazio 3D che
la contiene) e quindi la superficie della sfera diventa una varieta'
dimensionalmente sufficiente alla mia rappresentazione del vettore di stato.
Forse per semplicita' e per dare inizialmente qualcosa di visivo da
ricordare al lettore, le matrici di Pauli sono introdotte come gli
operatori che, nell'ambito della sfera di Bloch ruotano il vettore di
stato di Pi intorno agli assi da cui derivano il nome...quindi per
esempio X esegue un bit-flip, cioe' una rotazione di 180 gradi intorno
all'asse x (la base assunta come standard e' |0>,|1> "lungo" l'asse z)
Provando a fare due conti pero' spesso risalta fuori la fase globale,
per esempio:
Y|0> = i|1>
Y|1> = -i|0>
Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro che
ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una classe
di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa fase
globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che stiamo
ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y nell'esempio sopra)...
mi verrebbe da pensare che stiamo facendo forse qualcosa di piu'
complesso e poi buttiamo via un pezzo di risultato...
Quindi mi chiedo:
1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice
unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza fase
globale?
2) se mi metto di santa pazienza e faccio tutti le moltiplicazioni
matrice-vettore per ciascuna matrice di Pauli applicata ai vettori di
base che giacciono su assi che non siano quello della rotazione sono
confidente che (al netto della fase globale) in effetti avro' inversioni
dei vettori di base (per cui |0> diventera' |1>, |+> diventera' |->, e
cosi' via...)
Pero'... c'e' un modo piu' elegante (nel senso: meno conti e piu' motivi
profondi) per dimostrare che le matrici rappresentano tali rotazioni?
Oppure e' tutta una "forzatura didattica"?
3) La curiosita' successiva sarebbe capire sempre in modo un po' "furbo"
come la matrice di Hadamard che scambia base standard con base coniugata
sia a ragion veduta definibile come rotazione intorno all'asse X+Z
PS
Professione di ignoranza profonda per permettervi di modulare
un'eventuale risposta... affamato di comprensione ho letto su Wikipedia
https://it.wikipedia.org/wiki/Matrici_di_Pauli qualcosa che mi sembra
centrare:
"Le matrici di Pauli sono proporzionali ai generatori del gruppo SU(2),
la cui corrispondente algebra di Lie risulta essere isomorfa all'algebra
di Lie del gruppo SO(3) delle rotazioni."
ma non so nulla di algebre di Lie, generatori, SU(*)...insomma per me e'
arabo
Grazie!
Ciao
Andrea Barontini
Received on Wed Sep 30 2020 - 18:53:57 CEST