Il 07/10/20 17:09, Elio Fabri ha scritto:
> E ho anche dovuto ristudiare qualche cosa...
> Comunque eccomi qua.
>
Grazie!
> Come raccomandazione generale, sconsiglio di usare wiki it per
> argomenti scientifici.
Si si, vero, ho messo il link solo perche' volevo "mettere agli atti"
del thread un disegno della sfera di Bloch cosi' da partire tutti dallo
stesso punto.. rimedio subito ;)
https://en.wikipedia.org/wiki/Bloch_sphere
> Comincio correggendo alcune inesattezze.
>> Mi e' chiaro che la sfera di Bloch mappa sulla sua superficie (R^2)
> La sup. di una sfera è ... la sfera. Questa è la terminologia matematica
> universale. Quando si vuole intendere il volume si parla di "palla".
> E la sfera non è R^2, che è il piano (x,y): la sfera viene indicata
> con S^2.
> Tu volevi dire che è una varietà 2D.
>
non avevo idea che "sfera" indicasse la superficie. E meno male che ho
1,5 mezze lauree :D ... per quanto riguarda R^2 vs varieta' 2D si, hai
colto esattamente quello che intendevo e ho detto male
>> ...ma poi interviene il vincolo di normalizzazione c1^2 + c2^2 = 1
> Questo penso sia un lapsus: dovevi scrivere |c1|^2 + |c2|^2 = 1.
>
yep, dimenticanza non bella, ma solo dimenticanza, mi e' chiara la
differenza
>> inoltre butto via un fattore di fase globale non misurabile (e che
>> in fondo nella rappresentazione di Bloch potrebbe al piu'
>> corrispondere all'angolo intorno a z con cui la sfera e' immersa
>> nello spazio 3D che la contiene)
> "Potrebbe al più" non significa niente: è o non è.
> Comunque non è: punti sulla sfera che differiscono per una rotazione
> intorno a z *sono stati diversi*.
>
il "potrebbe" era per umilta' perche' stavo abbozzando una mia
interpretazione, ma credo di non essere riuscito a esprimermi in maniera
comprensibile, ci riprovo:
"l'ente fisico", il vettore di stato associato a un qbit e':
|psi> = c1 |0> + c2 |1> con c1,c2 complessi e |c1|^2 + |c2|^2 = 1
quindi completamente definito da una varieta' reale 3D: la condizione di
normalizzazione riduce infatti a un unico grado di liberta' la
possibilita' di scelta dei moduli, gli altri due sono le fasi dei
coefficienti.
Il vettore di stato devo mapparlo in qualche modo su un punto della
sfera di Bloch (perche' la sfera di Bloch viene utilizzata nel contesto
del QC per rappresentare graficamente un qubit).
Ma la sfera e' una varieta' reale 2D, quindi perche' il mapping sia
possibile devo "buttare via qualcosa": cio' che butto via e' un fattore
di fase, che definisco "globale" perche' ottenuto raccogliendo
nell'equazione di |psi> in modo che cio' che rimane -dopo averlo
buttato- sia un c1 con fase nulla e un c2 con fase eventualmente diversa
da 0. La cosa viene giustificata col fatto che il valore di espettazione
di un osservabile applicato a un vettore di stato e' invariante rispetto
alla fase globale dello stato, che quindi puo' essere considerata nulla
(la fase globale ovviamente non e' irrilevante quando ho 2 o piu' qbit
che interagiscono, ma infatti la sfera di Bloch e' una visualizzazione
che normalmente non si usa in quel caso).
Cosi' diciamo che, *a meno di un fattore di fase globale* che abbiamo
buttato:
|psi> = cos(theta/2)|0> + (e^i(phi)) sin(theta/2)|1>
(tralascio per non appesantire ulteriormente il discorso gli intervalli
per theta e phi)
Mi affretto verso il mio punto:
1) l'espressione a destra dell'uguale e' il punto sulla sfera di bloch,
di fatto identificato dai valori di theta e phi
2) theta e phi sono angoli geometricamente ben definiti nel momento in
cui definisco gli assi coordinati x,y,z della *palla*
3) l'orientazione degli assi x,y,z della palla puo' essere considerata
come l'orientazione della palla nello spazio 3D che la contiente, una
volta che usciamo dal punto di vista "intrinseco" per cui non c'e' nulla
oltre la palla
4) la fase phi del punto sulla sfera si esprime come l'angolo di
rotazione (della proiezione sul piano xy del raggio di tale punto)
intorno all'asse z
5) quindi mi viene naturale pensare all'altra fase, quella globale che
abbiamo buttato perche' non puo' venire rappresentata nell'ambito
"intrinseco" della sfera di Bloch, come la rotazione della palla intorno
al proprio asse z (rotazione che modifica l'orientazione degli assi x e
y rispetto allo spazio 3D in cui la palla e' contenuta)
Intendevo questo, probabilmente non particolarmente utile, ma mi sembra
che permetterebbe di disegnare le sfere di bloch di due qbit una
affianco all'altra rendendo conto anche delle rispettive fasi globali
(che pero' sarebbero reciprocamente relative e quindi non irrilevanti!)
Scusa se l'ho fatta troppo lunga su una cosa tutto sommato poco
importante rispetto al tema originario, ma non sapevo in che altro modo
spiegarmi.
>
>> Ora, alla luce di come la sfera di Bloch e' concepita mi e' chiaro
>> che ciascun vettore di stato rappresentato in essa e' in realta' una
>> classe di vettori di stato (che differiscono appunto per la famosa
>> fase globale), pero' mi sembra un po' tirato per i capelli dire che
>> stiamo ruotando il vettore di stato intorno a un asse (Y
>> nell'esempio sopra)... mi verrebbe da pensare che stiamo facendo
>> forse qualcosa di piu' complesso e poi buttiamo via un pezzo di
>> risultato...
> Qui mi sembra di vedere un po' di confusione.
> I punti della sfera di Bloch mappano uno a uno (e in modo continuo:
> omeomorfismo) i *raggi unitari* dello spazio C^2. > Il termine "vettori di stato" puoi usarlo solo per C^2, che è uno
> spazio vettoriale sui complessi.
> Gli stati (raggi unitari) invece formano una varietà reale 2D, che
> *non è* uno spazio vettoriale: non sono definiti né la somma né la
> moltiplicazione per uno scalare.
> Tanto meno è definito il prodotto scalare, ma su questo torno dopo.
>
uhmmm... "uno a uno" faccio fatica a capirlo: la sfera di Bloch siamo
daccordo che e' una varieta' reale 2D, ma l'insieme dei raggi unitari di
C^2 a me sembra -per quello che scrivevo prima- una varieta' reale 3D...
come possono essere mappate "uno a uno" due varieta' di differente
dimensione?
>> 1) perche' si usano le matrici di Pauli? Non c'era qualche matrice
>> unitaria che producesse "la rotazione" in maniera "pulita", senza
>> fase globale?
> Non è vero che ci sia *in generale* un problema di fase.
> Il fatto è che le formule che hai scritto per l'azione di Y le hai
> scritte per C^2, non per S^2.
Si hai assolutamente ragione, e in effetti a causa della rimozione
dell'ormai famigerata fase globale, per esempio |1> e (e^i(dummy))|1>
sono sulla sfera di Bloch lo stesso raggio e quindi si puo' dire che le
matrici di Pauli operino rotazioni di Pi *sulla sfera di Bloch* anche se
introducono fasi globali diverse da 0 nel loro codominio (tanto nel
momento in cui disegno il raggio la fase globale la ignoro).
Io mi aspettavo pero' che non dessero origine a tali fasi globali,
unicamente perche' speravo che partendo con fase globale 0, tale
rimanesse: cioe' speravo -non so neanche perche' visti i limiti di
utilizzo della sfera di Bloch- di poter applicare gli operatori di Pauli
senza che la visualizzazione del loro risultato sulla sfera di Bloch ne
comportasse la perdita di un pezzo di informazione (anche se un pezzo
non misurabile nell'ambito di un valore di espettazione): in quel caso
la visualizzazione "intrinseca" sarebbe stata piu' espressiva e quindi,
credo, potente.
Il fatto che cosi' non sia mi fa sorgere la curiosita':
- non lo e' perche' non potrebbe esserlo (cioe' non esiste un set di
operatori unitari corrispondenti a rotazioni di Pi sulla sfera di Bloch
che non introducano mai fasi globali nel risultato)
- oppure si usano gli operatori di Pauli perche' hanno altri vantaggi
troppo importanti per farne a meno?
>
> Arrivato a questo punto, mi accorgo che per rispondere al resto c'è da
> scrivere non poco, e ci debbo lavorare.
> Perciò rimando a un'altra puntata.
>
Grazie, ciao!
Received on Thu Oct 08 2020 - 01:12:16 CEST